2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение14.07.2012, 13:45 


15/04/10
985
г.Москва
Не можете ли прояснить следующее.
В электростатике известен способ расчета потенциалов через интеграл Пуассона.
Насколько я понимаю так считаются потенциалы и вне области распределенных зарядов
В то же время потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона и можно использовать приемы мат.физики
Здесь конечно есть проблема - если область проводник, то граничное условие на границе G.
$U|G=0$ (заземленный проводник)
или $U|G= \operatorname{const} $ (незаземленный проводник)
но неизвестна плотность распределенных зарядов
Если диэлектрик то плотность объемных (поверхностных)зарядов известна, но не известны граничн усл
Как тогда все же притянуть физику к математике уравнения Пуассона?
(по крайней мере во многих руководствах по матем.физике говорится об применимости уравн.Пуассона в электростатике)
Для чего-то в мат.физике есть понятия внутренняя и внешняя задачи Пуассона. Как их притянуть к электростатике?

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение14.07.2012, 15:46 
Модератор
Аватара пользователя


16/02/11
3788
Бурашево
eugrita в сообщении #595187 писал(а):
Если диэлектрик то плотность объемных (поверхностных)зарядов известна, но не известны граничн усл
Электродинамика и распространение радиоволн. В.В.Никольский. Учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1973, параграф 14. Граничные условия для потенциала даются (14.12).

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение14.07.2012, 20:10 


15/04/10
985
г.Москва
спасибо конечно. книга хорошая. но все равно, как из задач электростатики выудить постановку уравнения Пуассона?
вот цитата из статьи:
"Обычно рассматривается система заряженных проводящих тел с известной геометрией, окруженных диэлектриком, в котором отсутствуют объемные заряды. Заданы либо потенциалы тел, либо полные заряды.Распределение же зарядов по поверхности каждого тела неизвестно и подлежит определению."

Как прийти к классической задаче Дирихле с известным потенциалом на границе - единственный вариант положить его=0 - но тогда это проводник.
Как перейти от граничного условия $\frac {dV} {dn_1}+ \frac {dV} {dn_2}=-4\pi\sigma$ к задаче Неймана?
Можно ли привести какие-то нетривиальные примеры где постановка задачи Неймана является оправданной, т.е. сформулированы граничные условия и по ним может быть сделан численный расчет
в электростатике есть разные методы, в т. ч. метод зеркальных отображений, но меня интересует область применимости уравнения Пуассона

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение14.07.2012, 23:44 
Заслуженный участник


25/02/11
1798
eugrita в сообщении #595283 писал(а):
Как прийти к классической задаче Дирихле с известным потенциалом на границе - единственный вариант положить его=0 - но тогда это проводник.

Положить его равным $1$. Решение будет потенциалом проводника. С точностью до константы, определяемой зарядом.
eugrita в сообщении #595283 писал(а):
Как перейти от граничного условия $\frac {dV} {dn_1}+ \frac {dV} {dn_2}=-4\pi\sigma$ к задаче Неймана?

Это производные по внешней и внутренней нормали? Раз заряд $\sigma$ известен, то потенциал - потенциал простого слоя. Его нормальная производная (предельное значение снаружи/изнутри) будет давать условие Неймана, если это зачем-то надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение17.07.2012, 03:15 


07/02/12
16
Современная электростатика недостоверна. Если Вам надо практически задачу решить, то опыты проводите. Если теоретически, то пишите что хотите, бумага всё стерпит. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение17.07.2012, 12:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
tsvigo в сообщении #596066 писал(а):
Современная электростатика недостоверна.

Поясните, или это будет выглядеть как пропаганда лженауки.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение17.07.2012, 19:20 


15/04/10
985
г.Москва
Да, признаю, плохо пытаться заниматься математической физикой в отрыве от хороших лекций по физике.
Вот, подчитал:согласно материалам http://www.naumovphysics.ru/eldyn.html (А.И.Наумов)
"1.В задачах 1 типа- определения поля вне проводников заданы потенциалы всех проводников (они заземлены или подключены к источникам постоянного напряжения).В этом случае решается уравн Пуассона или уравн Лапласа с гранич усл вида $\varphi|G=C$ "
Т.е. тем самым, как понимаю дается карт-бланш на применение математических методов решения уравн Пуассона для разных конфигураций. При этом простейший случай этот проводник - круг (1-мерн задача)или прямоугольник (2-мерн задача) (в обоих случаях внешняя задача Дирихле?)
Т.е получается что искусство решения этой задачи сводится к мастерству решения уравнения Пуассона в общем случае для бесконечной области с несколькими полостями (многосвязная граница)
А постановка Неймана в самом простом случае - из задачи определения потенциала поля вне диэлектрика в вакууме с заданной плотностью зарядов внутри. Можно конечно и границы раздела 2 диэлектриков, но самая простая постановка видимо сказанная.

 Профиль  
                  
 
 Re: задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике
Сообщение17.07.2012, 20:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Условие Неймана - это когда задан потенциал на границе, физически это обычно отвечает проводнику (когда потенциал ещё и постоянен). Условие Дирихле - это когда задана напряжённость электрического поля по нормали к границе, физически это отвечает заданному поверхностному распределению заряда (например, на диэлектрике). Задача может быть корректно поставлена, если даже на некоторых границах условие Неймана, а на некоторых - условие Дирихле. Например, можно рассматривать физику не электростатики, а протекания тока по проводнику, тогда условия Неймана будут отвечать границам истока и стока, а условия Дирихле - непроводящим границам проводника. Обычно всё это формулируется для уравнения Лапласа, а не для уравнения Пуассона. Если хочется решать уравнение Пуассона, то для него дополнительно надо задать правую часть - других типов задач для уравнения Пуассона я не знаю (кроме случая, если правая часть - распределение зарядов, сама находится из каких-то условий и уравнений, здесь выходом может быть только итерационное решение системы).

Если хочется быстро напрямую решить уравнение Лапласа или Пуассона с границами Неймана и Дирихле, то можно попробовать интеграл Пуассона (метод функций Грина). Для этого граничные условия Дирихле преобразуются в соответствующие распределения источников. С граничными условиями Неймана сложнее: они играют роль отражающих поверхностей, в которых источники зеркально отражаются, по законам геометрической оптики, с изменением знака заряда. Найти все отражения - тоже может стать итерационной задачей. Если границы Неймана имеют ненулевые потенциалы, то, кажется, и метода отражений недостаточно, и придётся применять общие методы ураматов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group