задача Дирихле ур.Пуассона в электростатике

[eugrita]

Не можете ли прояснить следующее.
В электростатике известен способ расчета потенциалов через интеграл Пуассона.
Насколько я понимаю так считаются потенциалы и вне области распределенных зарядов
В то же время потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона и можно использовать приемы мат.физики
Здесь конечно есть проблема - если область проводник, то граничное условие на границе G.
$U|G=0$ (заземленный проводник)
или $U|G= \operatorname{const} $ (незаземленный проводник)
но неизвестна плотность распределенных зарядов
Если диэлектрик то плотность объемных (поверхностных)зарядов известна, но не известны граничн усл
Как тогда все же притянуть физику к математике уравнения Пуассона?
(по крайней мере во многих руководствах по матем.физике говорится об применимости уравн.Пуассона в электростатике)
Для чего-то в мат.физике есть понятия внутренняя и внешняя задачи Пуассона. Как их притянуть к электростатике?

[profrotter]

eugrita в сообщении #595187 писал(а):

Если диэлектрик то плотность объемных (поверхностных)зарядов известна, но не известны граничн усл

Электродинамика и распространение радиоволн. В.В.Никольский. Учебное пособие. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва "Наука", М., 1973, параграф 14. Граничные условия для потенциала даются (14.12).

[eugrita]

спасибо конечно. книга хорошая. но все равно, как из задач электростатики выудить постановку уравнения Пуассона?
вот цитата из статьи:
"Обычно рассматривается система заряженных проводящих тел с известной геометрией, окруженных диэлектриком, в котором отсутствуют объемные заряды. Заданы либо потенциалы тел, либо полные заряды.Распределение же зарядов по поверхности каждого тела неизвестно и подлежит определению."

Как прийти к классической задаче Дирихле с известным потенциалом на границе - единственный вариант положить его=0 - но тогда это проводник.
Как перейти от граничного условия $\frac {dV} {dn_1}+ \frac {dV} {dn_2}=-4\pi\sigma$ к задаче Неймана?
Можно ли привести какие-то нетривиальные примеры где постановка задачи Неймана является оправданной, т.е. сформулированы граничные условия и по ним может быть сделан численный расчет
в электростатике есть разные методы, в т. ч. метод зеркальных отображений, но меня интересует область применимости уравнения Пуассона

[Vince Diesel]

eugrita в сообщении #595283 писал(а):

Как прийти к классической задаче Дирихле с известным потенциалом на границе - единственный вариант положить его=0 - но тогда это проводник.

Положить его равным $1$. Решение будет потенциалом проводника. С точностью до константы, определяемой зарядом.

eugrita в сообщении #595283 писал(а):

Как перейти от граничного условия $\frac {dV} {dn_1}+ \frac {dV} {dn_2}=-4\pi\sigma$ к задаче Неймана?

Это производные по внешней и внутренней нормали? Раз заряд $\sigma$ известен, то потенциал - потенциал простого слоя. Его нормальная производная (предельное значение снаружи/изнутри) будет давать условие Неймана, если это зачем-то надо.

[tsvigo]

Современная электростатика недостоверна. Если Вам надо практически задачу решить, то опыты проводите. Если теоретически, то пишите что хотите, бумага всё стерпит.

[Munin]

tsvigo в сообщении #596066 писал(а):

Современная электростатика недостоверна.

Поясните, или это будет выглядеть как пропаганда лженауки.

[eugrita]

Да, признаю, плохо пытаться заниматься математической физикой в отрыве от хороших лекций по физике.
Вот, подчитал:согласно материалам http://www.naumovphysics.ru/eldyn.html (А.И.Наумов)
"1.В задачах 1 типа- определения поля вне проводников заданы потенциалы всех проводников (они заземлены или подключены к источникам постоянного напряжения).В этом случае решается уравн Пуассона или уравн Лапласа с гранич усл вида $\varphi|G=C$ "
Т.е. тем самым, как понимаю дается карт-бланш на применение математических методов решения уравн Пуассона для разных конфигураций. При этом простейший случай этот проводник - круг (1-мерн задача)или прямоугольник (2-мерн задача) (в обоих случаях внешняя задача Дирихле?)
Т.е получается что искусство решения этой задачи сводится к мастерству решения уравнения Пуассона в общем случае для бесконечной области с несколькими полостями (многосвязная граница)
А постановка Неймана в самом простом случае - из задачи определения потенциала поля вне диэлектрика в вакууме с заданной плотностью зарядов внутри. Можно конечно и границы раздела 2 диэлектриков, но самая простая постановка видимо сказанная.

[Munin]

Условие Неймана - это когда задан потенциал на границе, физически это обычно отвечает проводнику (когда потенциал ещё и постоянен). Условие Дирихле - это когда задана напряжённость электрического поля по нормали к границе, физически это отвечает заданному поверхностному распределению заряда (например, на диэлектрике). Задача может быть корректно поставлена, если даже на некоторых границах условие Неймана, а на некоторых - условие Дирихле. Например, можно рассматривать физику не электростатики, а протекания тока по проводнику, тогда условия Неймана будут отвечать границам истока и стока, а условия Дирихле - непроводящим границам проводника. Обычно всё это формулируется для уравнения Лапласа, а не для уравнения Пуассона. Если хочется решать уравнение Пуассона, то для него дополнительно надо задать правую часть - других типов задач для уравнения Пуассона я не знаю (кроме случая, если правая часть - распределение зарядов, сама находится из каких-то условий и уравнений, здесь выходом может быть только итерационное решение системы).

Если хочется быстро напрямую решить уравнение Лапласа или Пуассона с границами Неймана и Дирихле, то можно попробовать интеграл Пуассона (метод функций Грина). Для этого граничные условия Дирихле преобразуются в соответствующие распределения источников. С граничными условиями Неймана сложнее: они играют роль отражающих поверхностей, в которых источники зеркально отражаются, по законам геометрической оптики, с изменением знака заряда. Найти все отражения - тоже может стать итерационной задачей. Если границы Неймана имеют ненулевые потенциалы, то, кажется, и метода отражений недостаточно, и придётся применять общие методы ураматов.