Какой из обходов клумбы короче? [Квант]

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #595550 писал(а):

В Матанализе даётся определение выпуклости (вогнутости) через касательные к кривой в данной точке и не важно, замкнута кривая или незамкнута.

Shtorm,

Вы, как обычно, всё и всех запутываете. В известной Вам части матанализа [типа "методика (непременно методика!) анализа функции одной переменной"] рассматривается в(ы)пуклость графиков функций, что не так negj переносится на выпуклость кривых. А уж как свойство кривой "в целом" описать "через касательные к кривой в данной точке" --- до этого я вряд ли додумаюсь.

longstreet в сообщении #595549 писал(а):

действительно непонятно как определить выпуклость для (незамкнутой) линии

Единственная известная мне книга, где это делалось --- Guggenheimer, Differential geometry. Кривая (ограниченная дуга кривой) выпукла, если выпукла фигура, полученная соединением концов. Определение, видимо, не претендует на универсальность: оно сделано для целей конкретной главы. В какой мере оно лезет в данную тему --- пока не анализировал. В качестве альтернативы приходит в голову только "всюду локально выпукла".

[Shtorm]

А вот интересно, будет ли объемлемая, представленная на рисунке ниже, короче объемлющей?


В нижней кривой - все холмы выпуклы вверх и соединяются меж собой точками излома.

[ewert]

Алексей К. в сообщении #596030 писал(а):

Кривая (ограниченная дуга кривой) выпукла, если выпукла фигура, полученная соединением концов. Определение, видимо, не претендует на универсальность: оно сделано для целей конкретной главы

Ну, это, по крайней мере, корректно определяет локальную выпуклость. А дальше может быть распространено и на глобальную (например, так: на любом достаточно маленьком участке кривая выпукла локально, и на пересечении любых двух таких участков знак выпуклости одинаков, или что-то типа).

Но это ещё никак не определяет "потусторонность" по отношению к этой кривой (или хотя бы ломаной). Тут ещё надо попыхтеть.

[Алексей К.]

ewert в сообщении #596043 писал(а):

и на пересечении любых двух таких участков знак выпуклости одинаков

Это, наверное, знак кривизны. И ежели он хоть где-то меняется, в точке пересечения ли, в точке охренения ли, --- никакой выпуклости нет. Ни по какому определению.

ewert в сообщении #596043 писал(а):

или что-то типа).

Да, согласен на 100%: что-то типа).

-- 17 июл 2012, 02:42:51 --

Чёрт, как они эти премудрости прилепили к такой простой задачке? Придётся в выходные идти на пляж тему (блин) читать подробно.

[Shtorm]

Я посчитал длины верхней и нижней кривых на вышеприведённом рисунке и убедился, что нижняя существенно длинней. И о чём это говорит? Это говорит о том, что если и сформулируем теорему для кривых, то она будет верна только для гладких кривых.

[ГАЗ-67]

Рисунок покажите , пжлст.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #596065 писал(а):

Я посчитал длины верхней и нижней кривых на вышеприведённом рисунке и убедился, что нижняя существенно длинней. И о чём это говорит? Это говорит о том...

Ни о чём это не говорит. Сделайте амплитуду биений поменьше, и будет нижняя существенно короче.

Shtorm в сообщении #596065 писал(а):

если и сформулируем теорему для кривых, то она будет верна только для гладких кривых.

Ерунда какая-то: любой излом можно сгладить, сколь угодно мало исказив длину. Это ж какая тонкая теорема должна быть, чтобы почувствовать это и отреагировать на это!

[Shtorm]

ГАЗ-67 в сообщении #596088 писал(а):

Рисунок покажите , пжлст.

Рисунок

-- Вт июл 17, 2012 12:49:10 --

Алексей К. в сообщении #596141 писал(а):

Ни о чём это не говорит. Сделайте амплитуду биений поменьше, и будет нижняя существенно короче.

Да, несомненно можно подобрать такую амплитуду, чтобы нижняя была короче. Но! Если найдётся хотя бы один случай, когда нижняя длинней верхней - то уже теорема верна не для всех. (далеко не для всех)

-- Вт июл 17, 2012 12:51:48 --

Алексей К. в сообщении #596141 писал(а):

Ерунда какая-то: любой излом можно сгладить, сколь угодно мало исказив длину. Это ж какая тонкая теорема должна быть, чтобы почувствовать это и отреагировать на это!

Тогда на участке сглаживания будет выпуклость вниз - что опять противоречит теореме.

[ewert]

Shtorm в сообщении #596150 писал(а):

Да, несомненно можно подобрать такую амплитуду, чтобы нижняя была короче. Но! Если найдётся хотя бы один случай, когда нижняя длинней верхней - то уже теорема верна не для всех. (далеко не для всех)

Да прочитайте же наконец формулировку теоремы.

[Shtorm]

ewert в сообщении #596151 писал(а):

Да прочитайте же наконец формулировку теоремы.

Вы намекаете, на то, что в теореме идёт речь только о выпуклых ломаных?

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #596150 писал(а):

Тогда на участке сглаживания будет выпуклость вниз - что опять противоречит теореме.

А, понял, кажется. Просто эти штуки $\begin{picture}(30,50)\bezier(0,40)(15,40)(15,0)\bezier(15,0)(15,50)(30,50)\end{picture}$ в Вашем понимании "выпуклы вверх"... Ну-ну...

[Shtorm]

И вообще тут подумал, даже если взять исходный рисунок и заменить окружность в центре на несколько эллипсов вытянутых в сторону угла $ADC$ - то уже внутренний путь будет длинней чем путь $ADC$. Это говорит о том, что намёк

Цитата:

$-$ Странно $-$, подумал Вася, $-$ ответ на вопрос задачи не зависит от величины радиуса круга. Впрочем, $-$ продолжал он свою мысль, $-$ можно обойтись и без вычислений: ведь всякая объемлющая линия, как известно, длиннее всякой объемлемой, имеющей те же концы.

действительно в общем случае - будет неверным, как и говорил ewert.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #596212 писал(а):

Shtorm в сообщении #596150 писал(а):

Тогда на участке сглаживания будет выпуклость вниз - что опять противоречит теореме.

А, понял, кажется. Просто эти штуки $\begin{picture}(30,50)\bezier(0,40)(15,40)(15,0)\bezier(15,0)(15,50)(30,50)\end{picture}$ в Вашем понимании "выпуклы вверх"... Ну-ну...

Это замечание связано с различными терминами, используемыми разными авторами учебников? На всякий случай напишем: выпуклы вверх, это тоже самое, что и вогнуты вниз.

[CBst]

Извините, что вмешиваюсь, но тут вроде бы все очевидно.

Будем считать "внутренностью" синей линии треугольник ADC. Тогда красная линия, очевидно, не является ни выпуклой, ни вогнутой, так как всегда найдутся две точки, часть отрезка между которыми лежит вне ее внутренности (ну и для ее "не внутренности" аналогично).

В общем случае такая линия может быть и длиннее и короче, как показал Shtorm. А в частном случае для клумбы из поста №1, очевидно, синяя линия всегда длиннее, так как достаточно рассмотреть два крайних случая, когда радиус окружности, порождающий красную линию, равен нулю и $\frac{a}{2}$, где $a$ - длина стороны квадрата.

[Shtorm]

CBst, а что Вы скажете об определениях: Кривая выпукла в ту же сторону, что и .....?