Конечное множество рациональных чисел

[xmaister]

Пусть $S$- мноежство из $2n-1,n\in\mathbb{N}$ различных иррациональных чисел. Докажите, что существуют $n$ различных элементов $x_1,\ldots x_n\in S$, таких что для любых неотрицательных $a_1,\ldots ,a_n\in\mathbb{Q}$ число $a_1x_1+\ldots +a_nx_n$- иррационально.

(Источник)

IMC

[Dave]

А если все $a_i$ равны нулю? Сумма $a_1x_1+\ldots +a_nx_n$ ведь тогда рациональна

[xmaister]

Dave, спасибо. Я пропустил условие $a_1+\ldots +a_n>0$

[Mathusic]

xmaister в сообщении #595961 писал(а):

Dave, спасибо. Я пропустил условие

Условие неотрицательности сохраняется?
Ссылку на исходное уловие можно?

[xmaister]

Mathusic в сообщении #595973 писал(а):

Условие неотрицательности сохраняется?

Да, условие сохраняется

Mathusic в сообщении #595973 писал(а):

Ссылку на исходное уловие можно?

(Оффтоп)

Клац

[Профессор Снэйп]

Заголовок темы вводит в заблуждение. У Вас множество составлено из иррациональных чисел, а не из рациональных

-- Вт июл 17, 2012 12:17:28 --

При $n = 2$ множество $S$ состоит из трёх чисел, надо выбрать пару с заданным свойством.

Если все три числа линейно независимы над $\mathbb{Q}$, то всё очевидно. Если нет, то их линейная оболочка над $\mathbb{Q}$ - "плоскость" либо "прямая", и надо просто взять два числа, находящиеся по одну сторону от "прямой" $\mathbb{Q}$.

При произвольном $n$, похоже, индукция.

Вообще, всё можно свести к другой задаче, которую интуитивно понятнее, как решать:

Задача 2. Пусть $S$ - множество, состоящее из $2n-1$ различных элементов $\mathbb{R}^{2n}$, не принадлежащих множеству $R = \{ (x, 0, \ldots, 0) : x \in \mathbb{R} \}$. Доказать, что можно выбрать $x_1, \ldots, x_n \in S$, для которых $r_1x_1 + \ldots + r_nx_n \not\in R$ при всех неотрицательных $r_1, \ldots, r_n \in \mathbb{R}$ со свойством $r_1 + \ldots + r_n > 0$.

-- Вт июл 17, 2012 12:52:25 --

Пока мылся в ванне, понял, что утверждение задачи легко выводится из следующего утверждения:

Для любых $2n-1$ точек пространства $\mathbb{R}^{2n}$ и прямой в этом пространстве можно выбрать $n$ точек так, чтобы их выпуклая оболочка не пересекалась с прямой.

Ну а это совсем очевидно. Проведём через прямую гиперплоскость, не содержащую ни одной из исходных $2n-1$ точек. Эта гиперплоскость разделит $\mathbb{R}^{2n}$ на два полупространства, в одном из них окажутся не менее $n$ точек.

[Профессор Снэйп]

Можно ещё вот так решение оформить (идея та же, что я обозначил выше).

Лемма. Для каждого иррационального $a \in \mathbb{R}$ существует функция $f_a : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}$, такая что $f_a(x + y) = f_a(x) + f_a(y)$, $f_a(a) = 1$ и $f_a(1) = 0$.

Доказательство. Рассмотрим базис Гамеля $\mathbb{R}$ над $\mathbb{Q}$, содержащий $a$, в качестве $f_a(x)$ возьмём коэффициент при $a$ в разложении $x$ по этому базису.

Утверждение. Существует функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{Q}$ такая, что $0 \not\in f(S)$, $f(1) = 0$ и $f(x +y) = f(x) + f(y)$ для всех $x,y \in \mathbb{R}$.

Доказательство. Пусть $S = \{ a_1, \ldots, a_{2n-1} \}$. Положим $f(x) = \sum_{i=1}^{2n-1} q_i f_{a_i}(x)$, коэффициенты $q_i \in \mathbb{Q}$ подберём подходящим образом.

Остаётся выбрать $n$ точек из $S$, на которых $f$ принимает значения одного знака.