Ортогональная составляющая вектора

[64gl]

Добрый вечер.

Готовлюсь к экзамену, есть вот такой пример:

Линейное пространство порождено векторами
$(2, 3, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 5)$

Найти ортогональную составляющую вектора $(0, 8, 4, 0)$ относительно
этого пространства.

В каком направлении двигаться?

[AV_77]

Можно начать с проекции вектора на это пространство. Это не сложно делается через скалярное произведение.

[ewert]

64gl в сообщении #595954 писал(а):

В каком направлении двигаться?

Извините, но в первую очередь в направлении безграмотности составителя задачки (или Вас как его транслятора, уж не знаю). "Ортогональная составляющая вектора" (кстати, по-русски так не говорят, ну да бог с ним на фоне остального) имеет смысл лишь по отношению к подпространству, и ни в коей мере не к пространству.

Пустячок, казалось бы. Подумаешь, бессмысленное утверждение; мало ли их в нашей жизни. Но, как говаривал тов. Мюллер: "маленькая ложь рожает большие подозрения".

[Joker_vD]

64gl
Для начала найдите проекцию вашего вектора на данное подпространство.

(Оффтоп)

ewert в сообщении #595980 писал(а):

"Ортогональная составляющая вектора"

Да? Так а на что тогда вектор раскладывается: на сумму ортогональной проекции и... чего? Не ортогональной составляющей?

[ewert]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #595998 писал(а):

Не ортогональной составляющей?

Извините, но точно не поставивши задачки -- и ответа точно не получишь.

[Joker_vD]

(Оффтоп)

ewert
Дано линейное пространство, являющееся подпространством $\mathbb R^4$, дан вектор, надо найти ортогональную составляющую этого вектора относительно данного (под)пространства. Чего еще уточнять-то?

[ewert]

(Оффтоп)

Joker_vD в сообщении #596026 писал(а):

(под)пространства. Чего еще уточнять-то?

Не надо ничего уточнять. Надо просто изъясняться словами, имеющими смысл. Копроекция к подпространству -- осмысленна. К пространству -- бессмысленна.

Тут у меня некоторая проблема, конечно, я всё-таки преподаватель. Мне трудно заставить себя изъясняться исключительно блеяниями и мычаниями. Меня ж народ и понимать должен, хоть иногда.

[Shtorm]

64gl в сообщении #595954 писал(а):

Добрый вечер.

Готовлюсь к экзамену, есть вот такой пример:

Линейное пространство порождено векторами
$(2, 3, 0, 1), (1, 1, 1, 1), (1, 3, 3, 5)$

Найти ортогональную составляющую вектора $(0, 8, 4, 0)$ относительно
этого пространства.

В каком направлении двигаться?

Посмотрите вот здесь пример для трёхмерного пространства http://otvet.mail.ru/question/45403249/

И может по аналогии, сделаете для своего 4-мерного.

[mihailm]

Возможно это задание на применение ортогонализации Грамма-Шмидта, ортогонализируйте в начале систему

[ewert]

Не обязательно Грама-Шмидта. Можно найти наилучшее приближение методом наименьших квадратов, а потом вычесть его из исходного вектора. Технически так будет, пожалуй, даже проще.

Однако безграмотности исходной формулировки это не отменяет.

[_hum_]

А не проще ли напрямую найти ортогональный вектор $\mathbf{a}$ из решения системы $\mathbf{a}\cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \,i = 1,2,3$ и дальше уже его использовать для нахождения составляющей исходного вектора.

[Joker_vD]

Стандартный способ: пишем матрицу Грамма, дописываем столбец свободных членов вида $\left(\begin{array}{c}(x,e_1)\\(x,e_2)\\(x,e_3)\\(x,e_4)\end{array}\right)$, где $x$ — наш вектор, $e_i$ — базис подпространства, решаем. В результате получим разложение $x_{pr}$ по $e_i$. Ортогональная составляющая — это $x-x_{pr}$.

[ewert]

Joker_vD в сообщении #596442 писал(а):

дописываем столбец свободных членов вида $\left(\begin{array}{c}(x,e_1)\\(x,e_2)\\(x,e_3)\\(x,e_4)\end{array}\right)$,

Перебор.

[svv]

В данном случае можно немного "пошелушить" друг об друга векторы, порождающие подпространство, что с минимальными усилиями приведёт к ортогональному базису:
$(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,-1,1,-1)$

[ewert]

Да не в шелушении дело. Естественно, любой вектор любому подпространству можно ортогонализовать, притом разными способами. Удручает лишь невнятность исходной формулировки.