Область значений функции

[Keter]

Кстати, а как на английском принято range или codomain?

a) Найти область значения функций $f(x)$ и $g(x)$ для всех $x \in M$.

$$f(x)=\dfrac{1+\sqrt{-(2x+1)^2+10}}{2-2x},$$

$$g(x)=\dfrac{1-\sqrt{-(2x+1)^2+10}}{2-2x},$$

$$M=\bigg[ \dfrac{-1-\sqrt{10}}{2}; -2 \bigg) \cup (-2; 1) \cup \bigg( 1; \dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} \bigg]$$

b) При каких значениях $x \in M$ данные функции принимают значения $\dfrac{\pi}{2}+\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Если такие значения существуют, чему равняется $k$?

[Keter]

$x=\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2} : \quad f(x)=\sqrt{10}-3$

$x=-2 : \quad f(x)=\dfrac{1}{3}$

$\lim _{x\rightarrow 1}{f(x)}=+ \infty $ - как обозначается, что стремится слево к единице?

$\lim _{x\rightarrow 1}{f(x)}=- \infty $ - здесь стремится справо

$x=\dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} : \quad f(x)=-(\sqrt{10}+3)$

$f(x) \in \Big( - \infty; -(3+ \sqrt{10}) \Big] \cup \Big[ \sqrt{10}-3; \dfrac{1}{3} \Big) \cup \Big( \dfrac{1}{3}; + \infty \Big)$

-- 16.07.2012, 17:31 --

Напишу позже, отвлекают часто, нужно уйти.

[Munin]

Keter в сообщении #595890 писал(а):

как обозначается, что стремится слево к единице?

$x\to 1-0$

[Алексей К.]

Ваши функции таковы, что напрашивается их объединение в одну кривую $F(x,y)\, {{:}=}\,(y-f(x))(y-g(x))=0$. Облегчится ли от этого дурацкая задача --- не знаю, но если бы мне пришлось решать, я бы глянул, что это за ерундовина.

[ewert]

Очевидно, что $t_1=f(x)$ и $t_2=g(x)$ -- это два корня квадратного уравнения $(1-x)t^2-t+c(x)=0$. Осталось только найти $c(x)$ (оно совсем простое) и выписать из этого уравнения обратную функцию $x=x(t)$. Она тоже окажется достаточно несложной; во всяком случае, её график очень легко (хотя бы качественно) строится, после чего с ветвями функции, обратной к $x(t)$, с их монотонностями и что чему соответствует всё становится ясно.

[Keter]

Munin, спасибо.

Алексей К., я знаю, что одна функция как бы дополняет другую. Но дурацкую задачу нужно без помощи построения графика решить, только как как оценить пределы $\lim_{x \rightarrow 1\pm 0}{g(x)}$? Там какие-то неопределённости..

ewert, я тоже это заметил, а как проверить существует ли обратная функция, что она вообще даёт?

$(1-x)t^2-t-(2+x)=0; \quad x=x(t)=\dfrac{t(t-1)}{t^2+1}$

-- 16.07.2012, 21:16 --

В любом случае, вроди бы $\lim_{x \rightarrow 1}{g(x)}=-3$, а при $x=-2$ имеем $g(x)=0$.

$E(g) = \Big[ -3+\sqrt{10}; -3 \Big) \cup (-3; 0) \cup \Big( 0; \sqrt{10}-3 \Big]$

[ewert]

Ну для начала выделите из той дроби целую часть (она, конечно, единичка) плюс остаток. Кстати, дробь у Вас не очень хороша, это потом может навредить.

Но независимо от погрешностей вычислений -- график-то той дроби (с учётом его сдвига по вертикали на единичку) довольно прост и весьма характерен.

[Keter]

ewert, я не использовал обратных функций, поэтому у меня вопрос, как это поможет и какими свойствами обладает обратная функция?

[ewert]

Keter в сообщении #595942 писал(а):

как это поможет и какими свойствами обладает обратная функция?

Тут я ничем не могу помочь. У меня есть сильное подозрение, что задачка (судя по её внешнему виду) была ориентирована на навыки работы с именно обратными функциями. Иначе она выглядит совершенно бессмысленной в формально-математическом отношении. Так что увы: те навыки или есть -- или их нет, увы.

[Keter]

ewert, увы, но может что-то я пойму? То есть областью определения обратной функции является область значения данной $F^{-1} (t)=\dfrac{t(t-1)}{t^2+1}=\dfrac{-(t-1)}{t^2+1} +1$. Хотя мне всё равно не ясно, что и чему соответствует и как это поможет найти область значения корней уравнения $F(t)=0$

[ewert]

Keter в сообщении #595957 писал(а):

$F^{-1} (t)=\dfrac{t(t-1)}{t^2+1}$.

ну для начала подумайте, откуда ж Вы её взяли: это же ж явно не она же ж (пусть покуда это и не принципиально).

[Keter]

ewert, я что-то вообще не понял, как так выходит? Мы рассматриваем функцию $f(t)=(1-x)t^2-t-(2+x)$? Или что мы вообще делаем? $x=x(t)$ - к какой функции эта функция обратна?
Или же мы рассматриваем $t(x)=???$ и находим $x(t)$?

-- 16.07.2012, 22:19 --

Как выразить $t(x)$?

[Keter]

Зачем вообще возиться с обратными функциями? Разве с ними легче чем это:

$$x=\dfrac{-1-\sqrt{10}}{2} : \quad f(x)=g(x)=\sqrt{10}-3$$

$$x=-2 : \quad f(x)=\dfrac{1}{3}; \quad g(x)=0$$

$$\lim _{x\rightarrow 1-0}{f(x)}=+ \infty; \quad \lim _{x\rightarrow 1+0}{f(x)}=- \infty; \quad \lim _{x\rightarrow 1}{g(x)}=-3$$

$$x=\dfrac{-1+\sqrt{10}}{2} : \quad f(x)=g(x)=-(\sqrt{10}+3)$$

$$E(f)= \Big( - \infty; -(3+ \sqrt{10}) \Big] \cup \Big[ \sqrt{10}-3; \dfrac{1}{3} \Big) \cup \Big( \dfrac{1}{3}; + \infty \Big)$$

$$E(g) = \Big[ -3+\sqrt{10}; -3 \Big) \cup (-3; 0) \cup \Big( 0; \sqrt{10}-3 \Big]$$

Если это правильно, то пункт b) - это проблема..

[ewert]

Бог мой. Если мы принимаем ту самую пресловутую $f(t)$ равной нулю (кстати, буковка $f$ тут неуместна, замените её ну хоть на мягкий знак) -- то неужто ж из этого равенства нельзя выразить икс через тэ?... и неужто ж выражение будет такое, как у Вас?...

[Keter]

ewert, $(1-x)t^2-t-(2+x)=0; \quad t^2-xt^2-t-2-x=0; \quad t^2-t-2=x(t^2+1)$

$$x=\dfrac{t^2-t-2}{t^2+1}$$

Да..... Видно 2 у меня просто исчезла в предыдущих записях