Какой из обходов клумбы короче? [Квант]

[longstreet]

Задача. В центре квадратного сквера $ABCD$ расположена круглая цветочная клумба. Какой путь короче: красный ($AMC$) или синий ($ADC$)?



-- 15.07.2012, 00:14 --

Есть путь, приводящий к ответу, который бы не зависит от величины радиуса круга. Вроде даже красивый путь решения... Не знаю как его найти.

[Shtorm]

А не пробовали выразить путь вдоль клумбы через корень квадратный из суммы квадратов катетов минус диаметр клумбы плюс длина дуги? А потом возводить в квадраты и делать другие преобразования?

[svv]

Пусть сторона квадрата равна $1$, а радиус окружности $r$.
Синий путь равен $2$.
Красный путь равен диагонали $\sqrt 2$, в которой участок $2r$ выброшен и заменен на $\pi r$:
$\sqrt 2+(\pi-2)r$
Так как красный путь — возрастающая функция $r$, достаточно доказать, что даже для максимального радиуса клумбы, не выходящей за пределы сквера, $r=\frac 1 2$, красный путь короче синего:
$\sqrt 2+(\pi-2)\frac 1 2<2$

Ну, прежде всего, неравенство верно, левая часть равна $1.9850...$, так что шанс это доказать есть.
(Доказательство: WolframAlpha. Второе доказательство: калькулятор Windows)

[longstreet]

svv, Ваше решение мне кажется красивым! Но думаю, есть и другой красивый способ, при чём чуть ли не ободящийся без вычислений. В Кванте эта задача поставлена в виде диалога Васи и Пети, каждый из которых предпочитает разный путь обхода клумбы. Последний абзац их диалога:

Цитата:

$-$ Странно $-$, подумал Вася, $-$ ответ на вопрос задачи не зависит от величины радиуса круга. Впрочем, $-$ продолжал он свою мысль, $-$ можно обойтись и без вычислений: ведь всякая объемлющая линия, как известно, длиннее всякой объемлемой, имеющей те же концы.

Но намёка автора я уловить не смог.

svv в сообщении #595369 писал(а):

(Доказательство: WolframAlpha. Второе доказательство: калькулятор Windows)

А если по условию задачи (или, например, по условию олимпиады) этим пользоваться нельзя?

P.S.: Интуитивно я думал, что синий путь короче красного. Ошибался. А Вы? Интересно)

[Sverest]

$NMP=\pi \cdot R$
Путь по дуге равен $\pi \cdot R$
Путь по углу исключая $AN$ и $PC$ равен $2 \cdot R +\text{промежуток}$

Если еще раз отложить радиус на углу то видно что путь по углу исключая $AN$ и $PC$ равен $4 \cdot R +\text{промежуток}$

[svv]

longstreet писал(а):

P.S.: Интуитивно я думал, что синий путь короче красного. Ошибался. А Вы? Интересно)

Мне вот какое соображение помогло выбрать правильный вариант. Вы сказали, что ответ не зависит от радиуса клумбы (понятное дело, ведь радиус по условию не задан). Тогда знак неравенства будет тот же и в случае, когда радиус клумбы совсем мал. Ну, а в этом случае очевидно: две стороны длиннее диагонали.

[longstreet]

Здорово! Спасибо!

P.S.: Ну, а возможными идеями насчёт объемлемой и объемлющей линий не поделитесь, если есть какие? На что же намекал автор? И разве можно тут обойтись без вычисления?

[ewert]

longstreet в сообщении #595372 писал(а):

Цитата:

$-$Впрочем, $-$ продолжал он свою мысль, $-$ можно обойтись и без вычислений: ведь всякая объемлющая линия, как известно, длиннее всякой объемлемой, имеющей те же концы.

Но намёка автора я уловить не смог.

Это был неправильный намёк. И сильно сомневаюсь, чтобы можно было обойтись без вычислений -- уж слишком мало различаются пути в предельном случае (менее чем на один процент).

[longstreet]

Спасибо! Судя по всему, Вы правы.

P.S.: Жалко, конечно: было бы интересно увидеть решение без вычислений.

[Shtorm]

ewert в сообщении #595511 писал(а):

Это был неправильный намёк. ....

Ну давайте пойдём от противного: бывают ли случаи, когда объемлемая линия длинней своей объемлющей?

[ewert]

Shtorm в сообщении #595526 писал(а):

Ну давайте пойдём от противного: бывают ли случаи, когда объемлемая линия длинней своей объемлющей?

Лучше начать с начала: что такое "объемлющая линия" и что такое "объемлемая"?

[longstreet]

Похоже, это редко используемые термины. В книге Э. Бореля "Элементарная математика. Чать 2. Геометрия" на стр. 38 (читать онлайн) приведена следующая теорема и её доказательство, из которых можно попытаться понять вкладываемый смысл:

Теорема. Выпуклая ломаная линия короче всякой другой ломаной, которая имеет те же самые концы и лежит целиком со стороны её выпуклости. Это можно также сказать короче: выпуклая объемлемая ломаная короче всякой объемлющей ломаной, имеющей те же концы.

-- 15.07.2012, 15:13 --

Применительно к задаче с клумбой: $ADC$ (синий путь) $-$ объемлющая линия; $AMC$ (красный путь) $-$ объемлемая (со стороны её выпуклости) синим путём.

Из приведённой теоремы немедленно бы следовало, что красный путь короче синего. Но в теореме подразумеваются именно ломаные линии. Неужели эта теорема верна для любых линий?

[ewert]

Вот именно что выпуклая. Кстати, формулировка очень скользкая: если линия не замкнута, то у неё нет "стороны" выпуклости. Т.е. у самой линии есть, а вот у её окрестностей (которые и подразумеваются) -- нет.

-- Вс июл 15, 2012 16:16:58 --

longstreet в сообщении #595539 писал(а):

Применительно к задаче с клумбой: $ADC$ (синий путь) $-$ объемлющая линия; $AMC$ (красный путь) $-$ объемлемая (со стороны её выпуклости) синим путём.

Так кто в той теореме должен быть выпуклым-то?...

[longstreet]

ewert в сообщении #595542 писал(а):

Вот именно что выпуклая.

И вот именно что ломаная. Дуга окружности $-$ ведь не ломаная линия. Или в пределе может считаться ломаной?

Приведённая теорема без этих двух условий (выпуклости линий, и того, что линии $-$ ломаные) будет уже неверна?

[ewert]

longstreet в сообщении #595543 писал(а):

Приведённая теорема без этих двух условий (выпуклости линий, и того, что линии $-$ ломаные) будет неверна?

Принципиальна, конечно, лишь выпуклость внутренней линии (ну плюс, конечно, надо аккуратно сформулировать, что в точности понимается под потусторонностью). Ломаность линий, в принципе, несущественна, но это уже много-много позже -- сначала надо хоть как-то определить, что такое длина кривой. Вот для этого подобные теоремы, относящиеся только к ломаным, и нужны.