Как получить из статической системы динамическую?

[lioness]

Подскажите пожалуйста, если у меня есть система уравнений теории пологих оболочек в безразмерном виде (статика), как из нее сделать динамическую систему, достаточно ли будет к первому уравнению добавить слагаемое зависимое от времени, если да, то как лучше это записать? Просто нигде не могу найти уравнения движения в общем виде. Заранее спасибо
$L_{1} (w,\phi,\lambda)=L(w+w_{0},\phi)-\lambda \nabla ^{2}_{T} w_{0}$
$L_{2} (w,\phi)=-1/2 L(w,w)-L(w,w_{0})$,

где линейные операторы равны
$L_{1} (w,\phi,\lambda)=\nabla ^{4} w+\lambda \nabla ^{2}_{T} w-\nabla ^{2}_{k} \phi$,
$L_{2} (w,\phi)=\nabla ^{4} \phi+\nabla ^{2}_{k} w$

$\nabla ^2=\beta^2 (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}})$,

$\nabla ^{4}=\beta^4 (\frac{\partial^2}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^2}{\partial y^{2}}\frac{\partial^2}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^2}{\partial y^{2}})$

$\nabla ^{2}_{T} w=\beta^2 (T_{1} \frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+T_{2} \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}})$,

$\nabla ^{2}_{k}=\beta^2 (k_{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+k_{1} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}), $

а нелинейный оператор имеет вид
$L(w,\phi)=\beta^4 (\frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2}} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2}}-2 \frac{\partial^{2}w}{\partial x \partial y} \frac{\partial ^{2}\phi}{\partial x \partial y})$

[svv]

Как я понял, Вы хотите получить не просто лишь бы какую динамическую систему, а именно уравнения движения оболочек. Я думаю, что приписать слагаемое, зависящее от времени, будет недостаточно. Это Вы просто добавляете внешнее воздействие, зависящее от времени (опять же, если я правильно понял). А у оболочек есть ещё такое свойство, как масса (ну, или поверхностная плотность). Это свойство не проявляется в статике, но в динамике должно проявляться обязательно. И чтобы описание было реалистичным, слагаемое, отвечающее за инерцию, должно присутствовать, а иначе у Вас будет какой-то вырожденный случай невесомой оболочки, но не общее уравнение движения.

[lioness]

svv в сообщении #594523 писал(а):

Как я понял, Вы хотите получить не просто лишь бы какую динамическую систему, а именно уравнения движения оболочек. Я думаю, что приписать слагаемое, зависящее от времени, будет недостаточно. Это Вы просто добавляете внешнее воздействие, зависящее от времени (опять же, если я правильно понял). А у оболочек есть ещё такое свойство, как масса (ну, или поверхностная плотность). Это свойство не проявляется в статике, но в динамике должно проявляться обязательно. И чтобы описание было реалистичным, слагаемое, отвечающее за инерцию, должно присутствовать, а иначе у Вас будет какой-то вырожденный случай невесомой оболочки, но не общее уравнение движения.

Дело в том, что систему которую я рассматриваю безразмерная на данный момент, то есть, если я добавлю например к первому уравнению выражение типа $-q- \rho \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}$ думаю будет не правильно или я ошибаюсь?

[svv]

Если система приведена к безразмерному виду, то, конечно, размерное слагаемое добавлять неправильно, не сойдется размерность. Надо добавить его в безразмерном виде. Как оно будет выглядеть в безразмерном виде — понятия не имею. Это зависит и от способа приведения к безразмерному виду, и от исходных статических уравнений, в которые я не вникал. Надеюсь, Вы всё-таки согласны с основной идеей: инерция в том или ином виде должна отражаться в динамических уравнениях.

[lioness]

svv в сообщении #594589 писал(а):

Если система приведена к безразмерному виду, то, конечно, размерное слагаемое добавлять неправильно, не сойдется размерность. Надо добавить его в безразмерном виде. Как оно будет выглядеть в безразмерном виде — понятия не имею. Это зависит и от способа приведения к безразмерному виду, и от исходных статических уравнений, в которые я не вникал. Надеюсь, Вы всё-таки согласны с основной идеей: инерция в том или ином виде должна отражаться в динамических уравнениях.

А если предположить, что у меня система в размерном виде будет (другая), тогда можно было бы добавить подобное выражение

$$-q- \rho \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}$$

и этого было бы достаточно?

[svv]

Определенно сказать не могу. Для этого мне надо знать смысл величин, входящих в исходные уравнения (чтобы не складывать, например, силы с напряжениями ).
Лучше всего Вам поискать в сети готовые динамические уравнения оболочек.

[lioness]

svv в сообщении #594606 писал(а):

Определенно сказать не могу. Для этого мне надо знать смысл величин, входящих в исходные уравнения (чтобы не складывать, например, силы с напряжениями ).
Лучше всего Вам поискать в сети готовые динамические уравнения оболочек.

Готовых я уже много нашла, но они все как частные случаи, а мне нужно общий, поэтому приходится идти индуктивным путем

-- Чт июл 12, 2012 08:52:04 --

Вот если к примеру та система которую я в начале написала, я привела к размерным величинам и получила следующее
$D \nabla^{4} w=L(w+w_{0},\phi_{0}+\phi)+(k_{2} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2} }+k_{1} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}})+(T_{1} \frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+T_{2} \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2} })$

$\frac{1}{Eh} \nabla ^{4} \phi=-\frac{1}{2} L(w,w)-L(w,w_{0} )-(k_2 \frac{\partial^{2}w}{\partial x^2}+k_1 \frac{\partial^{2}w}{\partial y^2 }) $

правильно ли будет если я напишу
$D \nabla^{4} w=L(w+w_{0},\phi_{0}+\phi)+(k_{2} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial x^{2} }+k_{1} \frac{\partial^{2}\phi}{\partial y^{2}})+(T_{1} \frac{\partial^{2}w}{\partial x^{2}}+T_{2} \frac{\partial^{2}w}{\partial y^{2} })-q- \rho \frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}}$

$\frac{1}{Eh} \nabla ^{4} \phi=-\frac{1}{2} L(w,w)-L(w,w_{0} )-(k_2 \frac{\partial^{2}w}{\partial x^2}+k_1 \frac{\partial^{2}w}{\partial y^2 }) $

[svv]

lioness
Я Вам высказал свои опасения, но, думаю, вряд ли чем-то ещё смогу помочь. Мне для этого надо было бы познакомиться с теорией оболочек, изучить вывод Вашего уравнения, понять, что обозначает каждая из величин...

Мне вот даже непонятно, почему в уравнение $D \nabla^{4} w=...$ Вы добавили слагаемое "масса на ускорение", а в другое уравнение $\frac{1}{Eh} \nabla ^{4} \phi=...$ не добавили. Обозначения мне мало о чем говорят, они ведь даже от учебника к учебнику могут меняться.

[lioness]

Спасибо вам за поддержку. Буду разбираться