Отрезки в квадрате

[Профессор Снэйп]

Дан квадрат и множество отрезков с концами на его противоположных сторонах. При этом известно, что для любой точки, лежащей на одной из сторон квадрата, найдётся точка на противоположной стороне, соединённая с этой точкой отрезком. Обязаны ли отрезки при таких условиях полностью закрашивать весь квадрат?

[Maslov]

Каждую точку отрезка $AF$ соединяем с точкой $D$.
Каждую точку отрезка $FB$ соединяем с точкой $C$.
Каждую точку отрезка $BG$ соединяем с точкой $A$.
Каждую точку отрезка $GC$ соединяем с точкой $D$.
и т.д.

Или я что-то не так понял?

[Профессор Снэйп]

Да, глупая задача Ясно, что не обязаны.

Можно, наверное, спросить, какова максимально возможная площадь незакрашенной части. Но это уже не так интересно звучит.

-- Ср июл 11, 2012 23:20:40 --

Maslov в сообщении #594522 писал(а):

Или я что-то не так понял?

Да нет, всё правильно.

Я этот восьмиугольник у себя в тетрадке нарисовал. Сел писать сообщение, и пока писал, Вы меня опередили.

Задачу придумал, представив, как тараканы бегают в прямоугольной комнате по полу, от стенки к стенке, в поисках хлебных крошек. Вдоль стенок плинтус, под ним они в безопасности. А на полу они боятся и бегут быстро по прямой. Им надо найти все крошки.

Ну, теперь можно спросить, сколько крошек они не найдут в наихудшем для себя случае. То есть если будут бегать от каждой стены до противовоположной, но наиболее глупым образом.

-- Ср июл 11, 2012 23:25:21 --

Хотя, может, второй вопрос не так уж и неинтересен. Как при данных условиях вычислить максимальную площадь белой области?

[Профессор Снэйп]

Могу ещё такую формулировку предложить

Имеется квадратная комната $10 \times 10$ метров. По полу этой комнаты всю ночь бегают тараканы по следующему алгоритму: вылезя из-под плинтуса, таракан выбирает случайную точку противоположного плинтуса и по прямой бежит к ней. На пороге комнаты стоит человек, который время от времени кидает в комнату круглые тапки диаметром $10$ сантиметров. Тапки ложатся на пол случайным образом, но при этом никогда не перекрывают друг друга. Сколько необходимо выдать человеку тапков, чтобы он наверняка прихлопнул хотя бы одного таракана?

[EtCetera]

Возвращаясь к задаче, а, точнее, к решению, предложенному Maslov. Будем считать всю площадь, свободную от отрезков. В этом случае белым будет не только центральный восьмиугольник, но и четыре маленьких четырехугольника по сторонам света от него. Площадь белой области будет равна $\frac{4}{15}\approx 0{,}267$ (для единичного квадрата). По-видимому, это максимальная площадь незакрашенной области при использовании "метода равновеликих песочных часов". Предположим, что используется по $n$ вертикальных и горизонтальных "песочных часов" при закраске. Какова общая площадь незакрашенной области при $n\to\infty$?

[TOTAL]

EtCetera в сообщении #625819 писал(а):

Предположим, что используется по $n$ вертикальных и горизонтальных "песочных часов" при закраске. Какова общая площадь незакрашенной области при $n\to\infty$?

$$\int_0^1dx \int_x^{1-x}dy \; (1-x-y) $$

(Подозрительный результат, надо еще подумать)

$$\int_0^1dx \int_0^{1}dy \; (1-x-y+xy) $$

[atlakatl]

Квадрат 1x1, нижний левый угол в (0,0). Через любую точку квадрата с координатами (x, y) мы проходим отрезком (0, y) - (1, y).

[EtCetera]

TOTAL

TOTAL в сообщении #625983 писал(а):

$$\int_0^1dx \int_0^{1}dy \; (1-x-y+xy) $$

Да, этот ответ совпадает с результатом, полученным рабоче-крестьянским методом.

atlakatl

atlakatl в сообщении #625991 писал(а):

Квадрат 1x1, нижний левый угол в (0,0). Через любую точку квадрата с координатами (x, y) мы проходим отрезком (0, y) - (1, y).

Вы это к чему? Думаете, что квадрат в пределе будет полностью закрашен?

[atlakatl]

EtCetera в сообщении #626119 писал(а):

Думаете, что квадрат в пределе будет полностью закрашен?

Думаю.
Может, я не понял условие задачи? Тогда назовите точку в квадрате, которую мои отрезки не затрагивают.

[EtCetera]

atlakatl

atlakatl в сообщении #626123 писал(а):

назовите точку в квадрате, которую мои отрезки не затрагивают.

Через точки с иррациональными ординатами тоже проходят горизонтальные отрезки?

[atlakatl]

Профессор Снэйп в сообщении #594506 писал(а):

для ЛЮБОЙ точки, лежащей на одной из сторон квадрата, найдётся точка на противоположной стороне

Что нам мешает для отрезка (0, y) - (1, y) выбрать иррациональный y?

[gris]

(Оффтоп)

Однако, хорошая кухня десять на десять. Сотка. Прямо скажем, профессорская.

[EtCetera]

atlakatl

atlakatl в сообщении #626141 писал(а):

Что нам мешает для отрезка (0, y) - (1, y) выбрать иррациональный y?

Метод "песочных часов", вероятно.

(gris)

gris в сообщении #626145 писал(а):

Однако, хорошая кухня десять на десять. Сотка.

Думаю, таковы размеры кухни в Хогвартсе.

[atlakatl]

EtCetera в сообщении #626149 писал(а):

Метод "песочных часов", вероятно.

Погуглил. Первая ссылка на форум магии. Вы оттуда его взяли?