2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Отрезки в квадрате
Сообщение11.07.2012, 19:40 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Дан квадрат и множество отрезков с концами на его противоположных сторонах. При этом известно, что для любой точки, лежащей на одной из сторон квадрата, найдётся точка на противоположной стороне, соединённая с этой точкой отрезком. Обязаны ли отрезки при таких условиях полностью закрашивать весь квадрат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение11.07.2012, 20:17 
Заслуженный участник


09/08/09
3438
С.Петербург
Изображение
Каждую точку отрезка $AF$ соединяем с точкой $D$.
Каждую точку отрезка $FB$ соединяем с точкой $C$.
Каждую точку отрезка $BG$ соединяем с точкой $A$.
Каждую точку отрезка $GC$ соединяем с точкой $D$.
и т.д.

Или я что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение11.07.2012, 20:18 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Да, глупая задача :oops: Ясно, что не обязаны.

Можно, наверное, спросить, какова максимально возможная площадь незакрашенной части. Но это уже не так интересно звучит.

-- Ср июл 11, 2012 23:20:40 --

Maslov в сообщении #594522 писал(а):
Или я что-то не так понял?

Да нет, всё правильно.

Я этот восьмиугольник у себя в тетрадке нарисовал. Сел писать сообщение, и пока писал, Вы меня опередили.

Задачу придумал, представив, как тараканы бегают в прямоугольной комнате по полу, от стенки к стенке, в поисках хлебных крошек. Вдоль стенок плинтус, под ним они в безопасности. А на полу они боятся и бегут быстро по прямой. Им надо найти все крошки.

Ну, теперь можно спросить, сколько крошек они не найдут в наихудшем для себя случае. То есть если будут бегать от каждой стены до противовоположной, но наиболее глупым образом.

-- Ср июл 11, 2012 23:25:21 --

Хотя, может, второй вопрос не так уж и неинтересен. Как при данных условиях вычислить максимальную площадь белой области?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение11.07.2012, 21:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Могу ещё такую формулировку предложить :-)

Имеется квадратная комната $10 \times 10$ метров. По полу этой комнаты всю ночь бегают тараканы по следующему алгоритму: вылезя из-под плинтуса, таракан выбирает случайную точку противоположного плинтуса и по прямой бежит к ней. На пороге комнаты стоит человек, который время от времени кидает в комнату круглые тапки диаметром $10$ сантиметров. Тапки ложатся на пол случайным образом, но при этом никогда не перекрывают друг друга. Сколько необходимо выдать человеку тапков, чтобы он наверняка прихлопнул хотя бы одного таракана?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение01.10.2012, 21:25 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
Возвращаясь к задаче, а, точнее, к решению, предложенному Maslov. Будем считать всю площадь, свободную от отрезков. В этом случае белым будет не только центральный восьмиугольник, но и четыре маленьких четырехугольника по сторонам света от него. Площадь белой области будет равна $\frac{4}{15}\approx 0{,}267$ (для единичного квадрата). По-видимому, это максимальная площадь незакрашенной области при использовании "метода равновеликих песочных часов". Предположим, что используется по $n$ вертикальных и горизонтальных "песочных часов" при закраске. Какова общая площадь незакрашенной области при $n\to\infty$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4742
Нов-ск
EtCetera в сообщении #625819 писал(а):
Предположим, что используется по $n$ вертикальных и горизонтальных "песочных часов" при закраске. Какова общая площадь незакрашенной области при $n\to\infty$?

$$\int_0^1dx \int_x^{1-x}dy \; (1-x-y) $$

(Подозрительный результат, надо еще подумать)

$$\int_0^1dx \int_0^{1}dy \; (1-x-y+xy) $$

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 10:02 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Квадрат 1x1, нижний левый угол в (0,0). Через любую точку квадрата с координатами (x, y) мы проходим отрезком (0, y) - (1, y).

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 18:30 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
TOTAL
TOTAL в сообщении #625983 писал(а):
$$\int_0^1dx \int_0^{1}dy \; (1-x-y+xy) $$
Да, этот ответ совпадает с результатом, полученным рабоче-крестьянским методом.

atlakatl
atlakatl в сообщении #625991 писал(а):
Квадрат 1x1, нижний левый угол в (0,0). Через любую точку квадрата с координатами (x, y) мы проходим отрезком (0, y) - (1, y).
Вы это к чему? Думаете, что квадрат в пределе будет полностью закрашен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 18:42 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
EtCetera в сообщении #626119 писал(а):
Думаете, что квадрат в пределе будет полностью закрашен?

Думаю.
Может, я не понял условие задачи? Тогда назовите точку в квадрате, которую мои отрезки не затрагивают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 18:51 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
atlakatl
atlakatl в сообщении #626123 писал(а):
назовите точку в квадрате, которую мои отрезки не затрагивают.
Через точки с иррациональными ординатами тоже проходят горизонтальные отрезки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 19:03 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
Профессор Снэйп в сообщении #594506 писал(а):
для ЛЮБОЙ точки, лежащей на одной из сторон квадрата, найдётся точка на противоположной стороне

Что нам мешает для отрезка (0, y) - (1, y) выбрать иррациональный y?

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 19:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13531

(Оффтоп)

Однако, хорошая кухня десять на десять. Сотка. Прямо скажем, профессорская. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 19:17 
Заслуженный участник


28/04/09
1880
atlakatl
atlakatl в сообщении #626141 писал(а):
Что нам мешает для отрезка (0, y) - (1, y) выбрать иррациональный y?
Метод "песочных часов", вероятно.

(gris)

gris в сообщении #626145 писал(а):
Однако, хорошая кухня десять на десять. Сотка.
Думаю, таковы размеры кухни в Хогвартсе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Отрезки в квадрате
Сообщение02.10.2012, 19:30 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
EtCetera в сообщении #626149 писал(а):
Метод "песочных часов", вероятно.

Погуглил. Первая ссылка на форум магии. Вы оттуда его взяли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group