Задача про монетки: одна катится по другой, найти путь точки

[Хитрый Игорь]

Думаю известная задачка. Но...

Есть монтка радиусом 1. К ней приставлена монетка радиусом 2. БОльшая монетка начинает двигаться (катиться) по меньшей. Возьмем на бОльшей окружности точку А. Вопрос, какое расстояние пройдет точка А, когда бОльшая монетка сделает один проход по меньшей.

[Руст]

Получается 13.

[Lyoha]

А не 8?

[Руст]

Я забыл квадратный корень в выражении

$$\int_0^{2\pi }\sqrt{13-12cos\frac t2 }dt.$$

[Хитрый Игорь]

эээ..я вообще с самого начала ошибся с разделом. Хотел в "помогите решить". Так что не могли бы вы хотябы подсказать как решать такого рода задание.

[Lyoha]

Я бы решал так. Большая монетка сделает пол-оборота и начальное положение точки не влияет на результат. Пусть сначала она касается другой монеты.

Движение большой монеты - это в любой момент времени вращение вокруг точки касания. Угловая скорость вращения в 2 раза меньше скорости движения точки касания по меньшей монете. Радиус-вектор нашей точки относительно точки касания легко находится из пройденного угла. Итого:

$$S = \int_0^{2\Pi} 2R sin(\phi/4)d(\phi/2)$$

Где фи --- угол, пройденный точкой касания, а R=2 --- радиус большей монетки.

Надеюсь, не наврал.

[Руст]

Всё правильно. А я наврал, считая что скорость в точке касания не ноль, а как у точки касания в маленьком круге -1. А это привело к эллиптическому интегралу.

[нг]

Хитрый Игорь писал(а):

я вообще с самого начала ошибся с разделом. Хотел в "помогите решить"

С нашенским удовольствием.

[незваный гость]

Объясните мне, пожалуйста, где я неправ (лев)? Почему эти три кривые равны по длине (зеленая соответствует A, синяя — B, красная — C, вращение против часовой стрелки)?

И почему длина не задается такой трогательной формулой: $24 ((1 - \cos\frac{\psi}2)+(1-\sin\frac{\psi}2)\, \mbox{sign} \sin \psi)$? ($\psi$ — угол начального положения точки относительно центра большой монеты; $\pi$ для $A$, $\pi/2$ для $B$, $3\pi/2$ для $C$.)

(Я предполагаю, что в точке касания проскальзывания нет. Это означает, что скорость вращения большой монеты относительно собственного центра в два раза меньше, чем ее скорость вращения относительно центра малой. Ну а дальше — нехитрая техника).

Хитрый Игорь писал(а):

когда бОльшая монетка сделает один проход по меньшей.

А что такое проход? Когда центр большой опишет полный круг (как в рассуждениях выше)? Или когда точка вернется в прежнюю позицию (через два круга центра)? Если последнее, то кривая действительно одна и та же (красная + синяя с точностью до поворота), и ее длина равна $48$.

Добавлено спустя 2 часа 6 минут 12 секунд:

Вообще-то, наша любовь называется эпициклоида (epicycloid). Если круги имеют радиусы $R$ (вокруг которого ходим) и $r$ (который ходит, то она замкнется, если $\frac{R}{r}$ рационально. Если $\frac{R}{r}=\frac{p}{q}$ — несократимая дробь, то она замкнется ровно через $q$ кругов, описанных центром движущегося круга. При этом длина будет $8 q (R + r)$, или в среднем $8(R+r)$ на круг (любопытно сравнить с путем описываемым центром за то же время: $2 \pi (R+r)$, то есть соотношение постоянно, равно $\frac{4}{\pi}$, и не зависит от радиусов).

[Lyoha]

Что длина не зависит от начального положения я, вроде, прогнал. У меня ответ для начального положения в точке касания. Принцип понятен, если приспичит - можно проверить.

[незваный гость]

Для точки касания ($A$) у меня для одного круга центра большей монеты ответ $24$. Может, проверим?

Хитрый Игорь, а как пытаетесь решать Вы? Что получилось у Вас? В чем Ваши затруднения?

[Хитрый Игорь]

помогите найти литературу, где можно было бы прочитать про нахождения длин данных кривых. Ли можно это делать без интегралов?

[незваный гость]

Хитрый Игорь писал(а):

Ли можно это делать без интегралов?

Не думаю. Дело в том, что такое длина. Я не знаю определения длины (кривой), не опирающееся на понятие предельного перехода (а значит, и интеграла) в том или ином виде.

Если Вы действительно хотите с этим начать разбираться (по Вашему вопросу я понимаю, что Вы не изучали интегральное исчисление), я попробую поискать научно-популярную литературу. Еще несколько любопытных направлений: (а) площадь поверхности не может быть определена как предельный переход системы многогранников; (б) фрактальная размерность кривой (которая может оказаться нецелой!).

[Хитрый Игорь]

Где-то месяц-два назад, узнал что такое производная, интегралов не учили Прошли тему длины дуги окружности, но опять таки без интергалов, но предельный переход делали.

Буду благодарин за помощь.

[worm2]

Хитрый Игорь писал(а):

Где-то месяц-два назад, узнал что такое производная, интегралов не учили Прошли тему длины дуги окружности, но опять таки без интергалов, но предельный переход делали.

А... всё ясно. В Вашей задаче спрашивается не то, какой путь пройдёт точка, а каково расстояние от её начальной позиции (до начала качения) до конечной (после выполнения одного прохода).

Ну, тут Вам уже даже рисунок нарисовали, из которого всё ясно.