Проверьте, плиз...

[vlad_light]

Спасибо, попробую=)
Пускай $a<0$. Тогда для фиксированного $\varepsilon>0$ начиная с некоторого номера

$$P(|\omega _n|<\varepsilon)=P(\omega _n=e^{an})=e^{-bn}$$

Последнее стремится к $1$ только при $b=0$.
При $a=0$ имеем, что наши величины будут тождественно единичными, соответственно не смогут стремиться к $0$.
Так верно? По вероятности получается тоже самое, но не уверен Можно аналогичный пример?

Цитата:

Рещение изложено непонятно

А разве у неограниченого оператора может быть неограниченый спектр? Я говорю, что если б и существовал обратный к $A$, то он бы обязательно имел бесконечный спектр, что невозможно. Следовательно он не существует. Можно чуть подробнее, что неверно в моём доказательстве? Спасибо!

[svv]

Да, правильно.
Механику этой задачи можно описать так. То значение (та "ветвь") случайной величины, которое стремится к нулю (это $e^{-an}$ при $a>0$, и $e^{an}$ при $a<0$), должно иметь вероятность, стремящуюся к единице. Тогда величина стремится к нулю по вероятности: вероятность попасть в любую $\varepsilon$-окрестность нуля стремится к единице, так как в эту окрестность рано или поздно попадёт "доминирующая ветвь" величины.

А если ветвь, стремящаяся по значению к нулю, не является в пределе "доминирующей", или вообще ни одна из ветвей не стремится к нулю (случай $a=0$), сходимости по вероятности к нулю нет...

vlad_light писал(а):

По вероятности получается тоже самое, но не уверен

То, что мы обсуждали, и было "по вероятности". А "почти всюду" мы ещё не разбирали, я сейчас посмотрю.

[vlad_light]

Я имел ввиду почти всюду

[мат-ламер]

vlad_light в сообщении #592222 писал(а):

А разве у неограниченого оператора может быть неограниченый спектр? Я говорю, что если б и существовал обратный к , то он бы обязательно имел бесконечный спектр, что невозможно. Следовательно он не существует. Можно чуть подробнее, что неверно в моём доказательстве? Спасибо

Рассмотрите следующий пример. Пусть в гильбертовом пространстве есть ортонормированный базис $e_n$ и оператор $A$, действующий на этих векторах по закону $A(e_n)=e_n/n$. Попробуйте найти спектр этого оператора и обратный к нему оператор.

[vlad_light]

Не знаю, можно ли так делать, но давайте рассмотрим не произвольное гильбертово пространство, а $l^2$. Тода оператор $A:l^2\to l^2, e_n=(0,...,0,1,0,...)$. Найдём резольвенту:

$$(A-\lambda E)x=y$$

$$((1-\lambda)x_1,(\frac 12 -\lambda)x_2,...,(\frac 1n -\lambda)x_n,...)=(y_1,y_2,...)$$

$$(x_1,x_2,...)=(\frac {y_1}{1-\lambda},\frac{y_2}{\frac{1}{2}-\lambda},...,\frac{y_n}{\frac{1}{n}-\lambda},...)$$

Следовательно, $\sigma _d (A)=\{\frac 1n |n\in \mathbb N\}$. Догадываюсь, что $0$ должен принадлежать остаточному спектру, но не помню, как это доказать.

(Оффтоп)

Кажется, там есть какая-то теорема, которая утверждает, что у самосопряженного оператора $0$ принадлежит спектру, а самосопряжённость $A$ очевидна.

Дальше попробую найти обратный.

$$Ax=y, (x_1,\frac{x_2}{2},...,\frac{x_n}{n},...)=(y_1,y_2,...,y_n,...)$$

$$(x_1,x_2,...,x_n,...)=(y_1,2y_2,...,ny_n,...), x=A^{-1}y$$

Тогда $A^{-1}x=(x_1,2x_2,...,nx_n,...)$, который не является непрерывным.
Я догадываюсь, что Вы имели ввиду: мне казалось, что такой оператор будет некорректно определён на всём $l^2$, но теперь я сомневаюсь... Как доказать, что для любого вектора из $l^2$, его образ будет лежать в $l^2$?
Также, в определении спектра написано, что это компактное множество, но $\sigma (A^{-1})\supset\sigma _d(A^{-1})=\{n|n\in \mathbb N\}$, которое уже не может быть компактным в $\mathbb C$ или я ошибаюсь?

[мат-ламер]

vlad_light в сообщении #593023 писал(а):

мне казалось, что такой оператор будет некорректно определён на всём $l^2$, но теперь я сомневаюсь

. А ведь этот оператор на всём пространстве нельзя определить. Возможно я Вас не туда завёл. Во всяком случае в исходном задании спрашивали не о существовании обратного оператора, а о существовании непрерывного обратного. Его, очевидно, не будет.

[vlad_light]

Спасибо!
А расскажите, пожалуйста, про спектр оператора $Ax=(x_1,2x_2,...,nx_n,...)$. Насколько я понимаю, он будет корректно определён на пространстве $l^2_0$.
И сразу вопрос: будет ли верно, что $\overline {l^2_0}=l^2$? Если это так, то можно ли сделать вывод, что оператор $A$ не имеет замыкания в $l^2$?

[vlad_light]

И, кстати, svv, подскажите по поводу сходимости почти всюду.
Большое спасибо!)))

[svv]

vlad_light
Простите, я в этом очень плохо разбираюсь, надо попросить помощи у специалистов.
Так что ответ "не за что" — в буквальном смысле.

[mdn]

Симметрический оператор с плотной областью определения всегда допускает замыкание.

[vlad_light]

Цитата:

Симметрический оператор с плотной областью определения всегда допускает замыкание.

А вот у меня не получается построить замыкание данного оператора. Получается, $\overline{l^2_0}\neq l^2$ или я плохо "строю"?
Я вообще-то не знаю, что значит $l^2_0$: нас учили, что это вектора, у которых в конце стоят нолики, а где этот самый конец начинается - я не понял. Может оператор $A$ на этом пространстве не определён?
И правильно ли вообще писать $l^2_0$ (может нужно писать просто $l_0$)? Я пока не понял, чем отличаются пространства $l^p_0$? Ведь там все нормы будут эквивалентны.
Поправьте, где я ошибся. Спасибо!

[Trius]

vlad_light в сообщении #591714 писал(а):

5. Дан ЛНО $A$ в комплексном банаховом пространстве. Собств. числа $A - \frac{1}{n}, \forall n\geq 1$. Проверить на непрерывную обратимость.
Решение: $Ax=\frac{1}{n}x$, тогда пускай существует оператор $B: Bx=nx$. Тогда $B=A^{-1}$ и $\sigma _d(B)=\mathbb N$ - неограниченое множество в $\mathbb C$ , что противоречит спектру. Соответственно $A$ не имеет обратного, следовательно не является непрерывно обратимым. Верно?

Поскольку спектр замкнутый, а собственные числа ему принадлежат, то в спектре есть и 0, а значит по определению спектра, оператор $A-0 \cdot I=A$ не есть непрерывно обратимым.

[ewert]

vlad_light в сообщении #593397 писал(а):

И сразу вопрос: будет ли верно, что $\overline {l^2_0}=l^2$?

Верно.

vlad_light в сообщении #593397 писал(а):

Если это так, то можно ли сделать вывод, что оператор $A$ не имеет замыкания в $l^2$?

Нельзя.

vlad_light в сообщении #594070 писал(а):

А вот у меня не получается построить замыкание данного оператора.

А его и не надо строить -- он замкнут на своей максимальной области определения. Т.е. на всех элементах, для которых формальное его применение даёт элемент из эль-два.

[vlad_light]

Спасибо. Получается, по определению спектра, $A$ не будет иметь даже алгебраически обратного, верно?

Цитата:

А его и не надо строить ...

Т.е. в явном виде его представить нельзя?
И по поводу финитных векторов, разъясните, пожалуйста. Или киньте ссылку, где можно почитать. Спасибо!

[ewert]

vlad_light в сообщении #591840 писал(а):

$$e^{-ax}\int e^{ax}\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|dx=e^{-ax}\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|\frac{1}{a}(e^{ax}+c)=\alpha +\beta e^{-ax}, \alpha ,\beta \in \mathbb R$$

Это тоже неверно -- интеграл должен быть определённым.

Кроме того, это не нужно. Пусть $m\leqslant f(x)\leqslant M \ (\forall x)$. Докажите, что если $y(0)\in[\frac ma;\frac Ma]$, то это останется верным и вообще для любого $y(x)$ (т.е. что решение так и не сможет выбраться за пределы этой полосы). И подумайте, почему рассмотрения таких начальных условий достаточно.

vlad_light в сообщении #591779 писал(а):

Ну там производные взял, дробь сократил, получил один на зет.

Тут не производные надо брать (в т.ч. и для нахождения вычета), а просто тупо представить числитель его рядом Тейлора.

vlad_light в сообщении #591714 писал(а):

$Ax=\frac{1}{n}x$, тогда пускай существует оператор $B: Bx=nx$.

Не надо никого никуда пускать. Оператор обратим просто потому, что ноль по условию не является его собственным числом. И обратный неограничен просто потому, что на последовательности собственных элементов $\dfrac{\|A^{-1}x_n\|}{\|x_n\|}=n\to\infty$.

-- Вт июл 10, 2012 15:27:48 --

vlad_light в сообщении #594082 писал(а):

$A$ не будет иметь даже алгебраически обратного

А что такое "алгебраически обратный"?...

vlad_light в сообщении #594082 писал(а):

И по поводу финитных векторов, разъясните, пожалуйста. Или киньте ссылку

"Финитные векторы" (применительно к $l^p$) -- это просто последовательности, тождественно равные нулю начиная с некоторого (неважно какого) номера. Ссылку дать трудно, т.к. это хоть и общеупотребительный, но не стандартизованный термин. Так, технический жаргон.