Помогите доказать делимость

[fiztech]

Доказать, что при всех натуральных n выражение $8^{2n-1}-1$ делится на $7$.

Дошел до этого $(2^{2n-1}-1)(2^{2(2n-1)}+2^{2n-1}+1)$

Обозначим $(2n-1)=t$ Получается что вторая скобка принимает вид $4^{t}+2^{t}+1$.

Так как $2n-1$ нечетное число , то если подставить любые нечетные числа вместо $n$ этот многочлен $4^{t}+2^{t}+1$ всегда делится на $7$. Это я и не могу доказать.

[miflin]

А сами пробовали? По индукции легко доказывается...

[fiztech]

По индукции дошел только до того , что и написал )

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в задаче нет ничего олимпиадного.

[miflin]

Вы в исходное выражение подставьте $n+1$ вместо $n$, выделите в степени
множитель $64$, а $-1$ (которая не в показателе) замените на $63-64$.
А там как на ладони.

-- 09.07.2012, 19:37 --

fiztech в сообщении #593854 писал(а):

По индукции дошел только до того , что и написал )

Вы вообще знакомы с методом математической индукции?

[fiztech]

а на каком основании мы подставляем $n+1$ вместо $n$. А как доказать , что $4^{t}+2^{t}+1$ делится на $7$, чтобы мне впоследствии знать как такого рода штуки доказываются.

-- 09.07.2012, 21:38 --

С математической индукцией видимо не знаком.

[Shadow]

И причем тут нечетная степень?

[miflin]

fiztech в сообщении #593861 писал(а):

С математической индукцией видимо не знаком.

Проверяете справедливость утверждения для $n=1, n=2$...довольно.
У нас при этих $n$ выражение делится на $7$.
А теперь, предположив, что утверждение для $n$ верно, нужно доказать,
что из этого вытекает его верность и для $n+1$.
Если это доказано, то тогда из верности для 2 (а это проверено) вытекает
верность для 3, из 3 - для 4 и т.д. на весь натуральный ряд.
Вот и делайте то, что я ранее сказал. После преобразований у Вас должно
получиться исходное выражение (для $n$), окруженное множителями
и слагаемыми - такими, что они не убивают делимость на 7 для $n+1$.

[fiztech]

miflin
Спасибо , все понял .

[muzeum]

В чем проблема? $8=1(\mod7)$. Зачем индукция? И нечетность тут ни при чем, 1 в любой степени равно 1.

[fiztech]

Shadow
При том, что $2n-1$ при любом $n$ нечетное число ( то есть нечетная степень)

[Joker_vD]

А и правда, почему степень только нечетная?
$8^n=(7+1)^n=7^n+n\cdot7^{n-1}+\dots+n\cdot7+1$, значит, любая степень восьмерки дает при делении на семь единицу в остатке...

[fiztech]

Joker_vD

потому что при любых натуральных n выражение $2n-1$ равно нечетному числу. При не натуральных n выражение может быть и четным. Но мы то рассматриваем только натуральные n .

-- 10.07.2012, 01:56 --

Я рассматриваю $2n-1$ как единую степень . Вы же наверно рассматриваете её как $2^{2(2n-1)}=16^{n}/4$

[Joker_vD]

fiztech
Еще раз: если в вашем утверждении нечетную степень заменить на четную, утверждение все равно будет верным: $7|(8^n-1)$ для любого натурального $n$, что четного, что нечетного. А ваш последний пассаж я не понял совершенно.

[Профессор Снэйп]

Joker_vD в сообщении #593912 писал(а):

А и правда, почему степень только нечетная?

Я тоже сразу обратил на это внимание.

Восьмёрка даёт остаток $1$ при делении на $7$. В какую степень её не возводи, остаток $1$ не будет меняться.