Волновой диод

[LekarkinOleg]

Данная тема органически связана с новостью опубликованной на сайте http://www.elementy.ru (http://elementy.ru/news/431575 ). Сначала коротко скажу о своих наработках, чтобы вопросы (в конце) были ясны. Это может быть полезным и для формулировки дальнейших возможных вопросов по данной теме.
Заинтересовала мысль о взаимодействии волнового диода с двумя встречными волновыми пакетами. Для начала я попробовал воспроизвести результаты численного моделирования проведенного авторами обсуждаемой статьи, т. е. в случае распространения одного гауссового волнового пакета

$$\varphi_n (0) = I\exp\left[-(n-n_0)^2/w + i k_0 n \right]$$

(1)
через нелинейный димер описываемый ДНУШ

$$i\frac{\partial \varphi_n}{\partial t} = V_n \varphi_n - \varphi_{n+1} - \varphi_{n-1} + \alpha_n |\varphi_n|^2 \varphi_n$$

. (2)
С этой целью методом разностной аппроксимации построил явную разностную схему на сетке для 1001-го слоя (от $-$500 до $+$500). Открытые граничные условия («open boundary conditions») задал руководствуясь разъяснениями из http://people.ccmr.cornell.edu/~muchoma ... ode18.html , т.е. как нулевые первые производные по координате в граничных точках: $\varphi_x (-500,t)=0$, $\varphi_x (500,t)=0$. Руководствуясь замечанием авторов (We will assume the usual scattering setup where $V_n$ and $\alpha_n$ are nonvanishing only for $1\leqslant n \leqslant N $. The two semiinfinite portions ($n<1$, $n>N$) of the lattice, model two leads where the wave can propagate freely.), задал нулевые $V_n$ и $\alpha_n$ в линейной части ($n<1$, $n>2$). Остальные параметры также взял из статьи авторов: $V_1=-2.625, V_2=-2.375, \alpha_{1,2}=\alpha=1, |k_0|=1.57, M=500, |I|^2=3$ , $w=10^4$ и $n_0=\mp 250$. Таким образом, для шага по времени $\Delta t=250/40000$ и по координате $ \Delta x=1$ (межслойное расстояние) в матлабе получается
(пока незнаю как вставить изображение)
Рис. 1.
где $n$ – номер слоя, $t$ – время, $S$ – фурье-спектр действительной части волновой функции в правой линейной части кристалла ($2<n\leqslant 500$) в моменты $t=0$ и $t=250$, $|S|_\max$ – его максимальное значение для пакета в момент $t=0$.
Вычисляя решение для разных $|I|^2$ можно построить упоминаемую авторами зависимость коэффициентов правого (сплошная линия) и левого (пунктирная линия) пропускания нелинейного димера от квадрата гауссовой амплитуды $|I|^2$.
(пока незнаю как вставить изображение)
Рис. 2.
Здесь $N_T$ и $N_I$ переданная и начальная нормы соответственно. Как видно коэффициент правого пропускания в точке $|I|^2=3$, у меня равен 0.9 а не 0.8. Кроме того максимальная асимметрия ($|t_{p,right}-t_{p,left}|_{\max}= 0.6352$, где $t_{p}=N_{T}/N_{I}$, а индексы left и right указывают направление волнового вектора пакета) соответствует точке $|I|^2=3.4$.
Приведу результаты для совместной эволюции двух волновых пакетов на нелинейном димере
(пока незнаю как вставить изображение)
Рис.3.
На этом, думаю, следует прервать изложение и сформулировать первоочередные нерешенные проблемы.
1. После ознакомления с презентацией авторов http://www.ba.infn.it/~smft/PROGRAM_ABS ... /Lepri.pdf , которую я ещё недостаточно разобрал, возникли сомнения в правильности моих граничных условий. В той презентации они имеют более сложный вид.
2. Необходимо оценить погрешность вычислений. Это можно сделать, применив используемый алгоритм для такой задачи, решение которой известно с приемлемой точностью. Есть мысль промоделировать «выпрямление» гармонической волны. Как я понял, эта задача решается в оригинальной статье методом матрицы передачи («(backward) transfer map»), которым я не владею. Предполагаю, что схему можно протестировать для модели с нелинейностью в каждом узле, описываемой нашим ДНУШ. Однако возникает вопрос – как следует аналитически искать точные НЕсолитонные решения данного ДНУШ? (точных солитонных решений у этого уравнения нет – А. М. Косевич, М. А. Мамалуй, ЖЭТФ 122, 897 (2002) ).
Меня также интересуют мнения специалистов по поводу поставленной здесь задачи.

Остальные детали буду излагать по ходу замечаний и вопросов.

[photon]

Загрузите рисунки на любое стороннее рисункохранилище, а здесь вставьте используя тег img

[LekarkinOleg]

photon в сообщении #593778 писал(а):

Загрузите рисунки на любое стороннее рисункохранилище,

Какое, например?

[photon]

http://imageshack.us/

[LekarkinOleg]

Используя тег img вставлял ссылки на изображения, но предпросмотр дает - "Не удалось определить размеры изображения"? Так было и с http://**invalid link**/, так было и с ссылками files.mail.ru. В разделе "Работа форума" посоветовали http://fastpic.ru/. Может сделать проще?
http://files.mail.ru/L9Z38U?t=1
Рис.1
http://files.mail.ru/1BAM5H?t=1
Рис. 2
http://files.mail.ru/KGQJ5L?t=1
Рис. 3
http://files.mail.ru/AOO4T8?t=1
Рис. 4

[LekarkinOleg]

Готово:

Рис.1

Рис.2

Рис.3.1

Рис.3.2

[LekarkinOleg]

M определяет количество тонких слоев ($|n|\leqslant M$), а N - только количество нелинейных. Здесь M=500, N=2.

Рис. 4