Нахождение сторон треугольника

[BENEDIKT]

Задание из раздела "Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов".

У треугольника одна из сторон равна $1$ м, а прилегающие к ней углы равны $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$. Найдите другие стороны треугольника.

Построим треугольник $ABC$ со стороной $AC = 1$ м. У него углы $A=45^{\circ}$ и $C=30^{\circ}$. Проведём высоту $BD$ к стороне $AC$. Треугольники $ADB$ и $BDC$ - прямоугольные, т. к. $BD$ - высота.
В треугольнике $ADB$ угол при вершине $B$ равен $45^{\circ}$, т. к. треугольник прямоугольный и его угол $A=45^{\circ}$. Следовательно, тр-к $ADB$ - равнобедренный с основанием AB.
В треугольнике BDC угол при вершине $B=60^{\circ}$, т. к. $180^{\circ}-(D+C)=180^{\circ}-(90^{\circ}+30^{\circ})=60^{\circ}$

Далее не продвинулся. Каким образом найти $AD$ и $DC$, дабы в дальнейшем найти неизвестные стороны треугольника $ABC$? Известно лишь, что $AD+DC=AC=1$ м. Использовать ли значение $\sin, \cos, \tg 30^{\circ}/45^{\circ}/60^{\circ}$? Но ведь не известна ни одна сторона. Как же в этом случае использовать соотношения данных сторон?
Попробовал также принять $BD$ за $x$. Пусть $AD=BD=x$.
Тогда $DC=AC-x=1-x$
$\tg C=\tg30^{\circ}=\frac{BD}{DC}}=\frac{x}{1-x}}=\frac{\sqrt3}{3}}$
Только вот что с этим делать?

[ewert]

BENEDIKT в сообщении #593542 писал(а):

У треугольника одна из сторон равна $1$ м, а прилегающие к ней углы равны $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$. Найдите другие стороны треугольника.

Найдите синус противолежащего угла (по теореме сложения), а потом примените теорему синусов.

[BENEDIKT]

Я до этих теорем ещё не дошёл. Задание находится в разделе "Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов", т. е. известны пока лишь основные тригонометрические тождества, теорема о равенстве синуса одного угла косинусу другого и значения синуса, косинуса, тангенса для соответствующих углов.

[ewert]

Ну опустите из противолежащей вершину высоту на единичное основание,обозначьте неизвестные боковые стороны через икс и игрек, а потом составьте для них систему из двух уравнений: во-первых, высота, подсчитанная по иксу, должна быть той же, что и по игреку; во-вторых, сумма отрезков, на которые основание разбивается высотой, должна быть единичной. Это не требует ничего, кроме непосредственно синусов и косинусов.

[BENEDIKT]

Попытался, но пока не получается.

Проведём высоту BD к основанию AC.
Пусть $BC=x, AB=y$.
$\sin C = \sin 30^{\circ} = \frac{BD}{x}}=\frac{1}{2}}$
$\sin A = \sin45^{\circ}=\frac{BD}{y}}=\frac{\sqrt2}{2}}$

$\frac{BD}{x}}=\frac{1}{2}}$; $BD\frac{1}{x}}=\frac{1}{2}}$; $BD=\frac{1}{2}}/\frac{1}{x}}$
$\frac{BD}{y}}=\frac{\sqrt2}{2}}$; $BD\frac{1}{y}}=\frac{\sqrt2}{2}}$; $BD=\frac{\sqrt2}{2}}/\frac{1}{y}}$
Имеем систему:
$\frac{1}{2}}/\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt2}{2}}/\frac{1}{y}}$
$BD+DC=1$
Но что делать с этой системой? В ней слишком много переменных.

[Nemiroff]

Ну выразите куски известной стороны через проведенную высоту. Вам же углы в прямоугольном треугольнике известны.

[BENEDIKT]

Попробую. $AC=1$ состоит из $AD=BD$ и $CD$. Попробую выразить их через высоту $BD$.
$\tg30^{\circ}=\tg C=\frac{CD}{BD}}$ Тогда $CD=BD\tg30^{\circ}=BD\frac{\sqrt 3}{3}}$
$AD=BD$

Имеем:
$CD=\frac{BD\sqrt 3}{3}}$
$AD=BD$
$CD+AD=\frac{BD\sqrt 3}{3}}+BD$
$CD+AD=1$
$\frac{BD\sqrt 3}{3}}+BD=1$
$BD=AD$
$\frac{AD\sqrt 3}{3}}+AD=1$
$CD=\frac{AD\sqrt 3}{3}}$
$CD=\frac{\sqrt 3}{3}}AD$
$AD+\frac{\sqrt 3}{3}}AD=1$
$\frac{3AD+\sqrt 3 AD}{3}}=1$
$\frac{\sqrt 3(\sqrt 3 AD+AD)}{\sqrt 3^2}}=1$
$\frac{\sqrt 3 AD+AD}{\sqrt 3}}=1$
$\sqrt 3 AD+AD=\sqrt 3$
$\sqrt 3 AD=\sqrt 3 - AD$

Но что можно сделать с последним выражением?

[Nemiroff]

BENEDIKT в сообщении #593769 писал(а):

Но что можно сделать с последним выражением?

Решить линейное уравнение.

Сколько же мусора вы понаписали.
$\frac{BD\sqrt 3}{3}+BD=1$
Вот и решите.

[Shtorm]

BENEDIKT в сообщении #593582 писал(а):

$\frac{1}{2}}/\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt2}{2}}/\frac{1}{y}}$
$BD+DC=1$
Но что делать с этой системой? В ней слишком много переменных.

Продолжая это решение, можно так сделать:

из треугольника видно, что $DC=BC\cos 30^{\circ}=x\frac {\sqrt{2}}{2}$

Сторона $BD$ уже у Вас выражена через $y$, так что второе уравнение системы целиком заменяется на выражение через $x$ и $y$ и получаем систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

[BENEDIKT]

Боюсь, через $y$ было выражено $AB$, а не $BD$.

[Shtorm]

BENEDIKT в сообщении #593804 писал(а):

Боюсь, через $y$ было выражено $AB$, а не $BD$.

Специально цитирую мелкий фрагмент Вашего сообщения:

BENEDIKT в сообщении #593582 писал(а):

$BD=\frac{\sqrt2}{2}}/\frac{1}{y}}$

[BENEDIKT]

Прошу прощения, не заметил. Вы правы.

[Shtorm]

BENEDIKT в сообщении #593816 писал(а):

Прошу прощения, не заметил. Вы правы.

Давайте решайте. Как решите - напишите нам здесь, а то вдруг опять что-то непонятно.

[BENEDIKT]

Попытался решить.

$\frac{1}{2}}/\frac{1}{x}}=\frac{\sqrt2}{2}}/\frac{1}{y}}$; $\frac{x}{2}}=\frac{y\sqrt2}{2}$; $\frac{y\sqrt2}{2}=\frac{x}{2}}$
$\frac{\sqrt2}{2}}/\frac{1}{y}}+\frac{x\sqrt2}{2}}=1$; $\frac{y\sqrt2}{2}+\frac{x\sqrt2}{2}}=1$; $\frac{y\sqrt2}{2}=1-\frac{x\sqrt2}{2}}$

Получена система:
$\frac{y\sqrt2}{2}=\frac{x}{2}}$
$\frac{y\sqrt2}{2}=1-\frac{x\sqrt2}{2}}$

$\frac{x}{2}}=1-\frac{x\sqrt2}{2}}$
$\frac{x}{2}}+\frac{x\sqrt2}{2}}=1$
$\frac{x+x\sqrt2}{2}}=1$
$x+x\sqrt2=2$
$x\sqrt2=2-x$

Но как решить получившееся уравнение? Графический метод не позволяет получить точный ответ. А просто подобрать значения очень трудно.

[Shtorm]

BENEDIKT в сообщении #593829 писал(а):

$x+x\sqrt2=2$

Вынесите $x$ за скобки в левой части уравнения, а затем выражайте $x$.

А что - такие уравнения Вас учили решать только графически?