2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение28.06.2012, 23:08 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Здравствуйте. Пусть задана некоторая система $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений. Каким образом можно определить, соответствует ли данная система движению некоторой механической системы? Иными словами, можно ли найти такую функцию Лагранжа $L(q,\dot{q})$, для которой система уравнений $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ соответствует исходной (тождественна или же приводима некоторым диффеоморфным преобразованием координат)?

Существуют ли какие-нибудь критерии, которым должна удовлетворять СДУ? Или же в каждом отдельном случае для каждой СДУ нужно пытаться подобрать свою функцию Лагранжа: если получилось подобрать - значит система Лагранжева, если нет - не ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение01.07.2012, 21:27 
Заслуженный участник


25/01/11
390
Урюпинск
cupuyc в сообщении #590169 писал(а):
Или же в каждом отдельном случае для каждой СДУ нужно пытаться подобрать свою функцию Лагранжа: если получилось подобрать - значит система Лагранжева, если нет - не ясно. Существуют ли какие-нибудь критерии, которым должна удовлетворять СДУ?

имхо, процедуры позволяющей определить является ли данная СДУ лагранжевой или построить лагранжиан по заданной СДУ нет.
Если Вас интересует какая-то конкретная СДУ, напишите её здесь, может быть удастся построить лагранжиан совместными усилиями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение07.07.2012, 13:30 
Аватара пользователя


30/07/10
254
Давайте рассмотрим дифур:

$\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\left(\vartheta\right)\right)\ddot{\vartheta}+\left(\frac{1}{2}\sin2\vartheta+\cos\vartheta k'\left(\vartheta\right)\right)\dot{\vartheta}^{2}-2 g \sin\vartheta=0$ (1)
$k(\vartheta)$ - потенциальная функция.
$\vartheta$ - обобщённая координата.
$g$ - константа.

Является ли он уравнением Лагранжа?

Из моего предыдущего поста это уравнение нужно сравнить с

$B\left(\vartheta\right)\ddot{\vartheta}+\frac{1}{2}B'\left(\vartheta\right)\dot{\vartheta}^{2}+U'\left(\vartheta\right)=0$

Вариант 1
Можно попробовать проверить в лоб. Пусть $B=1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k$. Подставляя, получаем:
с одной стороны: $\frac{1}{2}B'=\frac{1}{2}\sin2\vartheta+\cos\vartheta k'$
с другой: $B'=\sin2\vartheta-k\sin\vartheta+\cos\vartheta k'$

Не прокатило. Вариант тут может быть такой:

Вариант 2
Уравнение (1) может представлять собой уравнение Лагранжа, домноженное на некоторую неизвестную функцию $\frac{1}{f(\vartheta)}$.

Попробуем найти эту функцию:
$\displaystyle f\left(\vartheta\right)\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\left(\vartheta\right)\right)\ddot{\vartheta}+f\left(\vartheta\right)\left(\frac{1}{2}\sin2\vartheta+\cos\vartheta k'\left(\vartheta\right)\right)\dot{\vartheta}^{2}-f\left(\vartheta\right)2g\sin\vartheta=0$

Получаем:
$B=f\left(\vartheta\right)\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\left(\vartheta\right)\right)$
дифференцируя, получаем: $B'=f'+f'\sin^{2}\vartheta+f'\cos\vartheta k+f 2 \sin\vartheta\cos\vartheta-f\sin\vartheta k+f\cos\vartheta k'$
сравниваем с $B'=f\sin2\vartheta+2f\cos\vartheta k'$
вычитаем из одного другое, приравниваем к нулю:

$\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\right)\frac{df}{d\vartheta}-\left(\sin\vartheta k+\cos\vartheta k'\right)f=0$.

Если решение этого дифура существует, то система Лагранжева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение07.07.2012, 13:45 
Заслуженный участник


23/07/08
8174
Харьков
У Вас $\cos\theta k$ — это $k\cos\theta$ или $\cos(\theta k)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение07.07.2012, 14:09 
Аватара пользователя


30/07/10
254
svv в сообщении #593058 писал(а):
У Вас $\cos\theta k$ — это $k\cos\theta$ или $\cos(\theta k)$ ?
первое $k(\vartheta)\cos\vartheta$

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение07.07.2012, 17:17 
Заслуженный участник


25/01/11
390
Урюпинск
Из вида дифф. уравнения можно предположить, что лагранжиан имеет структуру $$L=\tfrac{1}{2}M(\vartheta)\dot{\vartheta}^2-U(\vartheta).$$Уравнеия движения, следующие из лагранжиана $$\ddot{\vartheta}-\frac{M'}{2M}\dot{\vartheta}^2+\frac{U'}{M}=0.$$ Сравниваем с Вашим дифф. уравнением, получаем $$\frac{M'}{2M}=-\frac{\sin\vartheta\cos\vartheta+k'\cos\vartheta}{1+\sin^2\vartheta+k\cos\vartheta}
\qquad\qquad
\frac{U'}{M}=\frac{-2g\sin\vartheta}{1+\sin^2\vartheta+k\cos\vartheta}
.$$
Из первого находим $M(\vartheta)$, подставляем во второе и находим $U(\vartheta)$. То есть система лагранжева.
Вопрос в том можно ли явно вычислить получившиеся интегралы или ответ останентся в квадратурах. Если $k(\vartheta)$ произвольная функция, то я не вижу способа как вычислить интегралы. В частности, если $k=0$, то можно явно проинтегрировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение08.07.2012, 19:35 
Аватара пользователя


30/07/10
254
espe, ага, ответ получился тем же самым, но у Вас решение несколько проще. Хотелось бы выработать какой-нибудь критерий для определения - можно ли представить СДУ в виде Лагранжевой системы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?
Сообщение08.07.2012, 19:38 


10/02/11
6786
в окрестности неособой точки всякая четномерная система $\dot x =f(x)$ является гамильтоновой и может быть приведена к лагранжевой преобразованием Лежандра

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group