Соответствует ли систему ОДУ некоторой механической системе?

[cupuyc]

Здравствуйте. Пусть задана некоторая система $n$ обыкновенных дифференциальных уравнений. Каким образом можно определить, соответствует ли данная система движению некоторой механической системы? Иными словами, можно ли найти такую функцию Лагранжа $L(q,\dot{q})$, для которой система уравнений $\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0$ соответствует исходной (тождественна или же приводима некоторым диффеоморфным преобразованием координат)?

Существуют ли какие-нибудь критерии, которым должна удовлетворять СДУ? Или же в каждом отдельном случае для каждой СДУ нужно пытаться подобрать свою функцию Лагранжа: если получилось подобрать - значит система Лагранжева, если нет - не ясно.

[espe]

cupuyc в сообщении #590169 писал(а):

Или же в каждом отдельном случае для каждой СДУ нужно пытаться подобрать свою функцию Лагранжа: если получилось подобрать - значит система Лагранжева, если нет - не ясно. Существуют ли какие-нибудь критерии, которым должна удовлетворять СДУ?

имхо, процедуры позволяющей определить является ли данная СДУ лагранжевой или построить лагранжиан по заданной СДУ нет.
Если Вас интересует какая-то конкретная СДУ, напишите её здесь, может быть удастся построить лагранжиан совместными усилиями.

[cupuyc]

Давайте рассмотрим дифур:

$\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\left(\vartheta\right)\right)\ddot{\vartheta}+\left(\frac{1}{2}\sin2\vartheta+\cos\vartheta k'\left(\vartheta\right)\right)\dot{\vartheta}^{2}-2 g \sin\vartheta=0$ (1)
$k(\vartheta)$ - потенциальная функция.
$\vartheta$ - обобщённая координата.
$g$ - константа.

Является ли он уравнением Лагранжа?

Из моего предыдущего поста это уравнение нужно сравнить с

$B\left(\vartheta\right)\ddot{\vartheta}+\frac{1}{2}B'\left(\vartheta\right)\dot{\vartheta}^{2}+U'\left(\vartheta\right)=0$

Вариант 1
Можно попробовать проверить в лоб. Пусть $B=1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k$. Подставляя, получаем:
с одной стороны: $\frac{1}{2}B'=\frac{1}{2}\sin2\vartheta+\cos\vartheta k'$
с другой: $B'=\sin2\vartheta-k\sin\vartheta+\cos\vartheta k'$

Не прокатило. Вариант тут может быть такой:

Вариант 2
Уравнение (1) может представлять собой уравнение Лагранжа, домноженное на некоторую неизвестную функцию $\frac{1}{f(\vartheta)}$.

Попробуем найти эту функцию:
$\displaystyle f\left(\vartheta\right)\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\left(\vartheta\right)\right)\ddot{\vartheta}+f\left(\vartheta\right)\left(\frac{1}{2}\sin2\vartheta+\cos\vartheta k'\left(\vartheta\right)\right)\dot{\vartheta}^{2}-f\left(\vartheta\right)2g\sin\vartheta=0$

Получаем:
$B=f\left(\vartheta\right)\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\left(\vartheta\right)\right)$
дифференцируя, получаем: $B'=f'+f'\sin^{2}\vartheta+f'\cos\vartheta k+f 2 \sin\vartheta\cos\vartheta-f\sin\vartheta k+f\cos\vartheta k'$
сравниваем с $B'=f\sin2\vartheta+2f\cos\vartheta k'$
вычитаем из одного другое, приравниваем к нулю:

$\left(1+\sin^{2}\vartheta+\cos\vartheta k\right)\frac{df}{d\vartheta}-\left(\sin\vartheta k+\cos\vartheta k'\right)f=0$.

Если решение этого дифура существует, то система Лагранжева.

[svv]

У Вас $\cos\theta k$ — это $k\cos\theta$ или $\cos(\theta k)$ ?

[cupuyc]

svv в сообщении #593058 писал(а):

У Вас $\cos\theta k$ — это $k\cos\theta$ или $\cos(\theta k)$ ?

первое $k(\vartheta)\cos\vartheta$

[espe]

Из вида дифф. уравнения можно предположить, что лагранжиан имеет структуру

$$L=\tfrac{1}{2}M(\vartheta)\dot{\vartheta}^2-U(\vartheta).$$

Уравнеия движения, следующие из лагранжиана

$$\ddot{\vartheta}-\frac{M'}{2M}\dot{\vartheta}^2+\frac{U'}{M}=0.$$

Сравниваем с Вашим дифф. уравнением, получаем

$$\frac{M'}{2M}=-\frac{\sin\vartheta\cos\vartheta+k'\cos\vartheta}{1+\sin^2\vartheta+k\cos\vartheta} \qquad\qquad \frac{U'}{M}=\frac{-2g\sin\vartheta}{1+\sin^2\vartheta+k\cos\vartheta} .$$

Из первого находим $M(\vartheta)$, подставляем во второе и находим $U(\vartheta)$. То есть система лагранжева.
Вопрос в том можно ли явно вычислить получившиеся интегралы или ответ останентся в квадратурах. Если $k(\vartheta)$ произвольная функция, то я не вижу способа как вычислить интегралы. В частности, если $k=0$, то можно явно проинтегрировать.

[cupuyc]

espe, ага, ответ получился тем же самым, но у Вас решение несколько проще. Хотелось бы выработать какой-нибудь критерий для определения - можно ли представить СДУ в виде Лагранжевой системы.

[Oleg Zubelevich]

в окрестности неособой точки всякая четномерная система $\dot x =f(x)$ является гамильтоновой и может быть приведена к лагранжевой преобразованием Лежандра