Нахождение радиусов окружностей

[BENEDIKT]

Найдите радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$ и радиус $R$ окружности, описанной около него.



Прошу прощения за чертёж, далёкий от идеала.

Пусть $O$ - центр обеих окружностей. $ABC$ - равносторонний тр-к со стороной $a$. Т. $D$ - срединная т. $AC$. Т. о. $OD=r$.
Тр-к $AOD$ - прямоугольный, т. к. $OD$ лежит на медиане и высоте $ABC$ и, следовательно, перпендикулярен $A$C.
Проведём отрезок $AO=R$. По Теореме центр вписанной в тр-к окружности есть точка пересечения его биссектрис.
Следовательно, $AO$ - биссектриса, а угол $OAD =$ $\frac{BAC}{2}} =$$30^{\circ}$, т. к. $BAC =$ $60^{\circ}$.
$\tg 30^{\circ}=\frac{\sqrt3}{3}}$
$AD=\frac{a}{2}}$
Следовательно, $r/\frac{a}{2}}=\frac{\sqrt3}{3}}$
$\frac{2r}{a}}=\frac{\sqrt3}{3}}$
$2r=\frac{a\sqrt3}{3}}$
$r=\frac{a\sqrt3}{3}}/\frac{2}{1}}=\frac{a\sqrt3}{6}}$

$\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}}$
$\frac{a\sqrt3}{3}}/AO=\frac{1}{2}}$
$\frac{a\sqrt3}{3}}\frac{1}{AO}}=\frac{1}{2}}$
$6AO=\frac{a\sqrt3}{1}}/\frac{1}{2}}=2a \sqrt3$
$AO=\frac{2a\sqrt3}{6}}=\frac{a\sqrt3}{3}}$
Таким образом, получил следующее: $r=\frac{a\sqrt3}{6}}$; $R=\frac{a\sqrt3}{3}}$
Но с ответами это не сходится. Не могу понять, в чём допущена ошибка.

[ИСН]

В утверждении "с ответами не сходится". Уверены? как сравнивали?

[BENEDIKT]

Заглянул в ответы в конце учебника. Там даётся следующее: $r=\frac{a}{2\sqrt3}}$; $R=\frac{a}{\sqrt3}}$

[miflin]

BENEDIKT в сообщении #593259 писал(а):

Там даются следующие ответы:

И они совпадают с Вашими. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

[mihailm]

miflin в сообщении #593260 писал(а):

...Избавьтесь от иррациональности в знаменателе.

(Оффтоп)

Наоборот, добавьте иррациональности в знаменатель

[BENEDIKT]

Не увидел этого. Спасибо за помощь.