Найти спектральную плотность, если известна её асимптотика

[TheEnt]

В ходе работы у меня возникла некоторая задача и я хотел бы понять, имеет ли она вообще решение и как можно пытаться её решить, если решение существует и единственно.

Допустим есть некоторая функция $u(x)$, пусть она обладает всеми нужными свойствами (непрерывно дифференцируема и т.д., да и вообще пусть все функции в задаче непрерывные и дифференцируемы, если нужно), такая что
$u(x)=\int\limits_0^{+\infty}d\omega f(x,\omega)$.
Известно, что при $x\ll 1$ это выражение ведет себя как
$C=\int\limits_0^{+\infty}d\omega g(x,\omega)$,
где $C$ - константа, $g(x,\omega)$ - известная функция (то есть по сути заданная асимптотика $f(x,\omega)$)
Ещё есть условие, что $f(x,\omega)\to0$ при $\omega\to0$.
Существует и единственная ли функция $f(x,\omega)$, удовлетворяющая этим условиям?

[Vince Diesel]

Единственности не будет, конечно. Достаточно добавить к $f(x,\omega)$ любую функцию $\varphi(\omega)$ такую, что $\int_0^\infty \varphi(\omega)\,d\omega=0$. Существование будет для хороших функций, что значит хороших, зависит от $f$ .
Что значит асимптотика непонятно. Если $f$ равномерно непрерывна вплоть до нуля, то $g(\omega)=f(0,\omega)$ и для $v(x)=u(x)-C$ будет $v(x)=\int\limits_0^{+\infty}h(x,\omega)\,d\omega$, где $h(x,\omega)=f(x,\omega)-g(\omega)$.
Но ядро тоже однозначно не определяется. Можно в качестве $f$ (для некоторых $u$ ) взять ядро преобразования Лапласа или одно из многих других интегральных преобразований.

[TheEnt]

Да, точно, что-то я не сообразил. Спасибо!

[TheEnt]

Хотя стоп, кажется не так все просто.
При $x\to0$ выполнено $f(x,\omega)\simeq g(x,\omega)$, то есть если добавить указанную $\varphi(\omega)$, это условие нарушится. Не очень вижу смысл рассматривать ядро $h(x,\omega)=f(x,\omega)-g(\omega)$, так как у меня же не просто граничное условие при $x\to0$, а задано поведение функции при малых $x$.

Если важно, задача возникла из физической задачи. Есть два метода решения некоторой задачи, один работает при малых $x$ ($C(x)=\int d\omega g(x,\omega)$ (то есть вообще говоря у меня не $C$, а $C(x)$), другой работает в более широких пределах и дает результат $u(x)$, но не содержит в себе разложения по спектру. Показано, что при малых $x$ функция $u(x)$ переходит в $C(x)$. Я подумал, можно ли разложить $u(x)$ в спектр, зная это условие?

Суть в том, что если у задачи не единственное решение (в том смысле, что неоднозначность какая-то нетривиальная), решать мне её нет смысла.

[Vince Diesel]

В таком случае $f$ и $g$ не особо связаны. Для $x<1$, скажем, возьмем в качестве ядра $g$, а при $x\ge1$ произвольное $f$. Будет какое-то решение $u$. Вообще говоря, можно подобрать $f$ так, чтобы решение было непрерывно, дифференцируемо и т.п. Единственное, на что здесь кажется возможным опереться, если $g$ аналитическая, то брать в качестве $f$ аналитическое продолжение $g$. В этом случае уже есть надежда на однозначность.

[TheEnt]

Vince Diesel, я тоже думал об аналитическом продолжении. Я не исследовал подробно функцию $g$, просто это некоторое сложное интегральное выражение, в частности там стоит функция Эйри, но допустим она аналитическая, есть ли способы хотя бы численно построить аналитическое продолжение?

По поводу связи $f$ и $g$ - функция $u$ ведь задана, поэтому $f$ не может быть произвольной. Ну ладно, в целом я понял, надо посидеть, постараться придумать пример, когда единственность нарушается. Жаль, что тут не получается (ну то есть у меня пока не получилось) все свести к какому-то исследованному интегральному или дифференциальному уравнению, а то все стало бы ясно...

[Vince Diesel]

TheEnt в сообщении #593201 писал(а):

По поводу связи $f$ и $g$ - функция $u$ ведь задана, поэтому $f$ не может быть произвольной.

Если не требовать аналитичности, то всегда можно добавить к $f$ гладкую функцию $h$ со свойствами: $h(x,\omega)=0$ при $x\le1$, $\int_0^\infty h(x,\omega)\, d\omega=0$.

Если функция задана в виде ряда, то есть стандартные методы. Если же $f$ аналитическая функция, то туда можно продставлять произвольне аргументы, для которых она определена, вот и будет продолжение. Если интеграл расходится, то, возможно, правильный ответ даст какая-то его регуляризация. Конечно, для сложных функций ее мб нереально найти, даже при условии, что она в принципе есть и дает правильный ответ.