правило множителей Лагранжа (пример)

[Sverest]

В методичке есть пример на правило множителей Лагранжа, помогите разобраться:

Найти условный экстремум функции $f(x)=x_1+2x_2$ при условии $x_1^2+x_2^2=5$

Решение:
Составим функцию Ланграджа

$$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=\lambda_0(x_1+2x_2)+\lambda_1(x_1^2+x_2^2-5)$$

(почему в конце -5?)

и рассмотрим два случая: (почему именно 2 случая?)

Первый: Пусть$ \lambda_0 = 0$, тогда $\lambda_1 \ne$ 0 и $L(x, \lambda_0, \lambda_1)=\lambda_1(x_1^2+x_2^2-5)$

Запишем условие стационарности:
(как его получили?)

$$ \begin{cases} $L'_{x_1}=2\lambda_1 x_1=0$\\ $L'_{x_2}=2\lambda_1 x_2=0$\\ x_1^2+x_2^2=5 \end{cases} $$

Т.к.$ \lambda_1 \ne 0$ то данная система несовместна

Второй случай. Пусть $ \lambda_0 \ne 0$, тогда $ \lambda_0 = 1$ (почему 1) и

$L(x, \lambda_0, \lambda_1)=x_1+2x_2+ \lambda_1 (x_1^2+x_2^2-5)$

Запишем условие стационарности:
(как его получили?)

$$ \begin{cases} L'_{x_1}=1+2\lambda_1 x_1=0\\ L'_{x_2}=2+2\lambda_1 x_2=0\\ x_1^2+x_2^2=5} \end{cases} $$

Никаких долларова внутри $$\begin{cases} ... \end{cases}$$ быть не должно (здесь исправил). //AKM
Эта система имеет 2 решения (как их получили?)

$$ x^{(1)} \begin{cases} x_1=-1\\ x_2=-2\\ \lambda_1=0.5} \end{cases}$$

$$ x^{(2)} \begin{cases} $x_1=1$\\ $x_2=2$\\ \lambda_1=-0.5} \end{cases} $$

[chessar]

1) Потому что в канонической постановке задачи на условный экстремум (а точнее на минимум) накладываемые условия записываются с нулем в правой части: $\varphi(x)=x_1^2+x_2^2-5=0$; и соответственно функции в правых частях уже и используются для построения функции Лагранжа (также там еще могут присутствовать условия неравенства: $\varphi_i\leqslant0$).
2) и 4) Два этих принципиальных случая - это регулярность ($\lambda_0>0$) и не регулярность ($\lambda_0=0$) решения задачи. А в случае $\lambda_0>0$ берется $\lambda_0=1$ от того, что множители Лагранжа $\lambda_i$ определяются неоднозначно, а с точностью до ненулевой мультипликативной константы (при этом все $\lambda_i$ должны быть не меньше 0 и не все одновременно обращаться в 0).
3) и 5) Необходимо приравнять все частные производные (по каждой из переменных $x_i,\;\lambda_j$) функции Лагранжа к нулю (либо только по $x_i$, но при этом учесть и накладываемые условия). А еще надо не забыть условие дополнительной нежесткости, если имеются условия с неравенствами: $\lambda_i\varphi_i=0$.
6) Выразили $x_1,\;x_2$ через $\lambda_1$ из первых 2-ух уравнений (с учетом того, что $\lambda_1\neq0$, т.к. иначе система станет несовместной). После чего подставили в 3-е уравнение, получили квадратное уравнение относительно $\lambda_1$, нашли корни, вычислили иксы.

А вообще, если вы хотите обоснование этих фактов и понять почему именно так, а не иначе, то лучше обратиться к более серьезной литературе, нежели к методичке.

[AKM]

Sverest в сообщении #592942 писал(а):

(почему в конце -5?)

Видимо, формулировки теорем записывают дополнительное условие в виде $F(x_1,x_2)\color{magenta}=0$. Стало быть, данное Вам $x_1^2+x_2^2\color{magenta}=5$ следует переписать в виде

$$\underbrace{x_1^2+x_2^2-5}_{F(x_1,x_2)}=0.$$

И обратите внимание на поправки к записи формул (вставил в первое сообщение).

[Sverest]

Что можно почитать чтоб разобраться как решать такие примеры?

[chessar]

Sverest в сообщении #593081 писал(а):

Что можно почитать чтоб разобраться как решать такие примеры?

1) В. С. Климов, А. Ю. Ухалов. Правило множителей Лагранжа в курсе математического анализа.
2) Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — изд. 2-е, испр. и доп. — М.: ФАЗИС, 1997 (глава VIII, § 7, стр. 516-528).
3) Пантелеев А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учеб. пособие / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. — М.: Высш. шк., 2002 — 544 с.: ил. (глава I, § 3, стр. 81-100).
4) Ларин Р. М., Плясунов А. В., Пяткин А. В. Методы оптимизации. Примеры и задачи: Учеб. пособие / Новосиб. ун-т. Новосибирск, 2003. — 115 с. (стр. 12-20).
5) Васильев Ф. П. Методы оптимизации. — М.: Издательство "Факториал Пресс", 2002. — 824 с. (часть I, глава 4, § 8, стр. 211-217).
6) Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа: Пер. с англ.— М.: Радио и связь, 1987. — 400 с.: ил.