Тригонометрическое уравнение

[dnoskov]

$$4\sin{2x}+8(\sin{x}-\cos{x})=7$$

$$8\sin{x}\cos{x}+8\sin{x}-8\cos{x}-8=-1$$

$$8(\sin{x}(\cos{x}+1)-(\cos{x}+1))=-1$$

$$8(\sin{x}-1)(\cos{x}+1)=-1$$

$$(1-\sin{x})(1+\cos{x})=\frac{1}{8}$$

Вот, но как дальше я что-то не угляжу. А м.б. это уравнение вообще не так надо? А как?

…

Можно, конечно, дальше:

$$2\cos^2{\frac{x}{2}}\cdot(1-\cos{(\frac{\pi}{2}-x)})=\frac{1}{8}$$

$$4\cos^2{\frac{x}{2}}\cdot\sin^2{(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2})}=\frac{1}{8}$$

Вот. Подскажите, пожалуйста — как дальше?

[Taus]

Можно попробовать в лоб, всё выразить через $\tg \frac{x}{2}$.

[chessar]

Решение в Maple показывает, что не все так просто (приведено одно из действительных решений без учета периода):
$ x=\arctg\left(\frac{\sqrt{7}+1}{\sqrt{7}-1}\right). $
Видимо да, либо через $\tg\frac{x}{2}$, либо например поделить на $\cos^2{x}$, получить уравнение от $\tg$, там вылезут корни квадратные, ну и т.д.

[kw_artem]

во втором уравнении число $-8$ можно представить в виде

$$-8=-4-4=-4-4(\sin^2 x + \cos^2 x)$$

и решать дальше: у вас получится кв.уравнение с заменой

[Mathusic]

$4\sin{2x}+8(\sin{x}-\cos{x})-7=0.$
Замена: $\sin x - \cos x = t, t^2= \dots$

[chessar]

Mathusic в сообщении #592475 писал(а):

$4\sin{2x}+8(\sin{x}-\cos{x})-7=0.$
Замена: $\sin x - \cos x = t, t^2= \dots$

А и вправду, в правой части ведь симметрический многочлен от $\sin{x},\;\cos{x}$. Видимо глаз уже замылился.

[dnoskov]

Да, замена выручила, но сложность в том, что пока что я не могу применять ничего кроме формул тригонометрических функций суммы аргументов (включая формулы двойного угла, приведения и понижения степени).

так что, строго говоря, я могу пока предположить, что я могу получить какие-то неверные (судя по ответу, приведённому в задачнике) решения уравнений:

$$\sin{x}-\cos{x}= {1 \over 2}$$

и

$$\sin{x}-\cos{x}=-{1\over 4}$$

путём возведения их в квадрат, выделив тем самым синус двойного угла и т.д.

Правда тогда как-то надо будет отсеять посторонние корни, а это я не знаю как сделать исходя из этого скорее всего неверного метода решения.

П. С. Ответ из задачника: ${\pi \over 4}+(-1)^n\arcsin{\sqrt{2}\over 4}+\pi n$

[Shtorm]

dnoskov в сообщении #592489 писал(а):

$$\sin{x}-\cos{x}=-{1\over 4}$$

Ну, начнём с того, что здесь у Вас ошибка. Там не $-{1\over 4}$

[dnoskov]

Ой! Правда: $\sin{x}-\cos{x}=-{1 \over 2}$

Но тогда: $|\sin{x}-\cos{x}|={1 \over 2}$
так что возводим в квадрат и, можно сказать, всё.

Спасибо!

[lek]

Опять не так. Правильно будет $t_1=1/2$ и $t_2=3/2$. Причем второй корень в ОДЗ не входит.

[dnoskov]

lek, упс. Ваша правда. (Это значит — спать пора)

Ну тогда уж совсем утро вечера мудренее, так что я лучше завтра всё заново переделаю.

Благодарю участников!

[Алексей К.]

Имеем:

$$\begin{cases}8sc+8(s-c)=7,\\s^2+c^2=1.\end{cases}$$

Или

$$\left\{\begin{array}{rcl}8(s-c)&=&7-8sc,\\4&=&4s^2+4c^2.\end{array}\right.$$

Сложите последние два уравнения.

(Аналогичный случай)

[lek]

Алексей К., он уже в это "въехал".

[Keter]

dnoskov в сообщении #592489 писал(а):

путём возведения их в квадрат, выделив тем самым синус двойного угла и т.д.

dnoskov, есть такая штука, вспомогательный угол. Например, имеем уравнение вида $a \sin x \pm b \cos x = C$, тогда используем следующее преобразование:

$$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \bigg( \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x \pm \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x \bigg) = \sqrt{a^2+b^2} \cdot ( \sin x \cos \varphi \pm \cos x \sin \varphi)$$

$$a \sin x \pm b \cos x = \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sin (x \pm \varphi) $$

$$\varphi = \arcsin \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

В частности, можно записать $\sin x \pm \cos x = \sqrt2 \cdot \sin \bigg( x \pm \dfrac{\pi}{4} \bigg)$

Если использовать формулу, то Вы получите обычное уравнение $\sin (x \pm \varphi) = \dfrac{C \cdot \sqrt{a^2+b^2}}{b}, \text{где } \varphi = \arcsin \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

[lek]

Keter в сообщении #592601 писал(а):

dnoskov, есть такая штука, вспомогательный угол.

Да проще там все гораздо. ТС получил пару решений для $t=\sin{x}-\cos{x}$:

$$ t_1=\frac12,\quad t_2=\frac32. $$

Подставляем их в уравнение

$$ 4\sin{2x}+8(\sin{x}-\cos{x})-7=0 $$

и имеем

$$ \sin{2x}=\frac34,\quad\sin{2x}=\frac54. $$

Отсюда

$$ x=\frac12\arcsin{\frac34}+\pi k\quad\text{или}\quad x=\frac12\left(\pi-\arcsin{\frac34}\right)+\pi k. $$