Трудно дается алгебра.

[nnosipov]

Ales в сообщении #591864 писал(а):

Эти задачи были составлены при помощи именно этих знаний.

Ну и что? Это не делает задачу на доказательство этой делимости методом индукции бесполезной.

[Fafner]

Ales в сообщении #591864 писал(а):

dolbygaba в сообщении #590715 писал(а):

$(11^{n+2}+12^{2n+1}) \vdots 133$

Дело в том, что $11^{n+2}+12^{2n+1} = 11^n \cdot 121 + 144^n \cdot 12 = 11^n \cdot (133 - 12) + (133 + 11)^n \cdot 12$ - очевидно, что делится на 133.
А если же не очевидно, то надо немного изучить теорию остатков.
Эти задачи были составлены при помощи именно этих знаний.

Доказать делимость надо с помощью метода математической индукции.

$1) \; n=1;$
$ 11^{1+2}+12^{2 \cdot 1+1}=11^{3}+12^{3}=1331+1728=3059 \ \vdots \ 133; $

$2) \; n=k;$
$ 11^{k+2}+12^{2k+1} \ \vdots \ 133;$

$3) \; n=k+1;$
$ 11^{(k+1)+2}+12^{2(k+1)+1}=11^{k+3}+12^{2k+3}=11^{k} \cdot 11^3 + 12^{2k} \cdot 12^3 = \newline = 11^k\cdot(133-12) \cdot 11 + (133+11)^k \cdot 12^3.$

Дальше по аналогии не могу понять, почему будет делимость на 133 :(

[Ales]

Joker_vD в сообщении #591899 писал(а):

Ales в сообщении #591864 писал(а):

Решение уравнения в радикалах скорее похоже на переливание из пустого в порожнее. Это воистину глупое и бессмысленное занятие.

А почему, собственно? Если мне известны в радикалах решения $f(x)=0$, то я хотя бы смогу явно описать поле разложения многочлена $f(x)$.

Что значит "явно"?
Почему через радикалы (корни уравнения $x^n-a=0$) это "явно", а через корни уравнения $x^n+..+a_n=0$ это неявно?
В последнем случае это будет тавтология.
В первом тоже тавтология, но с некоторой продолжительной возней.


-- Ср июл 04, 2012 21:40:34 --

nnosipov в сообщении #591917 писал(а):

Ales в сообщении #591864 писал(а):

Эти задачи были составлены при помощи именно этих знаний.

Ну и что? Это не делает задачу на доказательство этой делимости методом индукции бесполезной.

Но школьнику, прежде чем давать такие задачи, надо было рассказать про делимости и остатки.

Метод индукции - это метод доказательства, он не помогает в поиске решения,
но только позволяет строго оформить уже известное решение.

Это логика, а не алгебра.

[AnDe]

Омг, вы чего)
$n=k+1$
$11^{(k+1)+2}+12^{2(k+1)+1}=11 \cdot 11^{k+2}+144 \cdot 12^{2k+1}=11 \cdot (11^{k+2}+12^{2k+1})+133 \cdot 12^{2k+1}$
Первое слагаемое делится на 133 по предположению индукции, а во второе по определению.

А Ales либо тролль, либо не шарит

[Sonic86]

(Оффтоп)

А еще можно было для простоты $133$ разложить на множители

[arqady]

Fafner в сообщении #591945 писал(а):

Доказать делимость надо с помощью метода математической индукции.

$1) \; n=1;$
$ 11^{1+2}+12^{2 \cdot 1+1}=11^{3}+12^{3}=1331+1728=3059 \ \vdots \ 133; $

$2) \; n=k;$
$ 11^{k+2}+12^{2k+1} \ \vdots \ 133;$

$3) \; n=k+1;$
$ 11^{(k+1)+2}+12^{2(k+1)+1}=11^{k+3}+12^{2k+3}=11^{k} \cdot 11^3 + 12^{2k} \cdot 12^3 = \newline = 11^k\cdot(133-12) \cdot 11 + (133+11)^k \cdot 12^3.$

Дальше по аналогии не могу понять, почему будет делимость на 133 :(

Пункт 3 можно завершить и в том виде, в каком Вы это оставили, но проще так:
$ 11^{(k+1)+2}+12^{2(k+1)+1}=11^{k+3}+12^{2k+3}=$
$=11\left(11^{k+2}+12^{2k+1}-12^{2k+1}\right) +12^{2k+3}=$
$=11\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)-11\cdot12^{2k+1}+144\cdot12^{2k+1}=$
$=11\left(11^{k+2}+12^{2k+1}\right)+133\cdot12^{2k+1}$, что, очевидно, делится на 133.

[Ales]

AnDe в сообщении #592263 писал(а):

А Ales либо тролль, либо не шарит

Лучше бы сказали мне "спасибо".
Ведь это я первый написал, что 144 = 133 + 11.
Может быть, Вы и сами догадались, но приоритет точно мой.

[Munin]

Я уверен, что древнегреческие математики написали это за две тысячи лет до вас. Так что приоритет точно не ваш.

[Ales]

Munin в сообщении #592491 писал(а):

Я уверен, что древнегреческие математики написали это за две тысячи лет до вас. Так что приоритет точно не ваш.

Они не знали позиционную систему и современные цифры.
Кроме того (и это самое важное), они не публиковали это открытие в связи с вышеизложенной задачей.

Кстати, я придумал хорошую задачку:
в каких системах исчисления всё это верно?

[Fafner]

О, теперь понял, спасибо большое :)

[nnosipov]

Ales в сообщении #592172 писал(а):

Но школьнику, прежде чем давать такие задачи, надо было рассказать про делимости и остатки.

Метод индукции - это метод доказательства, он не помогает в поиске решения,
но только позволяет строго оформить уже известное решение.

Это логика, а не алгебра.

Про отношение делимости рассказать необходимо, иначе условие задачи будет непонятно. А вот фокусы с остатками (до которых ещё нужно додуматься) здесь в принципе не нужны, ибо задача по своей природе является алгебраической. Чтобы это понять, её нужно рассмотреть в более общем виде. Пусть $F(n)=\sum P_j(n)q_j^n$ --- квазиполином с целыми коэффициентами, $\deg{P_j(n)}=m_j$ и $m=\sum (m_j+1)$. Как проверить, делятся ли на данное $M$ все значения $F(n)$ при $n=0,1,2,\dots$? Оказывается, для этого достаточно проверить делимость на $M$ только для значений $F(n)$, где $n=0,1,\dots,m-1$. Делимость на $M$ остальных значений $F(n)$ доказывается именно по индукции и почти очевидна ($F(n)$ удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению $m$-го порядка). Например, для $F(n)=Aq_1^n+Bq_2^n$ достаточно потребовать, что числа $A+B$ и $Aq_1+Bq_2$ были кратны $M$. При придумывании таких задач исходят из этих простых соображений, а сами эти задачи являются тренировочными для освоения метода индукции (арифметику остатков изучают на других, более содержательных примерах).

Ales в сообщении #592500 писал(а):

Кстати, я придумал хорошую задачку:
в каких системах исчисления всё это верно?

Т.е. в каких системах счисления $11^{n+2}+12^{2n+1}$ делится на $133$ при любом целом неотрицательном $n$? Подобные вопросы легко разрешимы и на хорошую задачу вряд ли потянут.

[Mitrius_Math]

мат-ламер в сообщении #590431 писал(а):

Решить уравнение $1/x^2-1/(x+1)^2=1$.

После замены $y=x+1$ уравнение приводится к виду $y^2+\frac{1}{y^2}-2\left(y+\frac{1}{y} \right)+1=0$, которое становится квадратным после подстановки $t=y+\frac{1}{y}$.

[Ales]

nnosipov в сообщении #597513 писал(а):

Подобные вопросы легко разрешимы и на хорошую задачу вряд ли потянут.

Задача легко решается, красивая и очень алгебраическая.
Отсюда, например, $8^{n+2}+9^{2n+1}$ всегда делится на 73 ($11^{n+2}+12^{2n+1}$ делится на 133 в семеричной системе).

А математическая индукция это то же, что и рекурсия.
Метод довольно скверный. Но это дело вкуса .

[nnosipov]

Ales в сообщении #598071 писал(а):

($11^{n+2}+12^{2n+1}$ делится на 133 в семеричной системе)

Странный результат. Неужели Вы ничего не поняли из того, что я написал выше?