\documentclass{book}
\begin{document}
ДОКАЗАНА ЛИ ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА?
Я. З. Назыров
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Начиная с 1982 года, я стал эпизодически заниматься проблемой Ферма, не раз впадая в заблуждение, что мною получен положительный результат. Своими достижениями я делился с окружающими и отсылал письма в престижные вузы страны. Поскольку никаких положительных отзывов от них не приходило, то я делал вывод, что нахожусь в очередном заблуждении.
Информацию в таком объеме, как эта монография, я представляю впервые, с уверенностью на 100%, что она не будет отвергнута, хотя ее очень хочется не принимать к сведению. Прочитав эту книгу, в которой нет никаких сложных математических выкладок, у Вас может появиться разочарование в полученной информации. Разочарование в необходимости сделать вывод.
Сделать вывод, что это неверно, а в душе думать, что автор прав, будет нехорошо самому. Сказать, что автор прав – это отказаться от своих, установившихся взглядов на такие простые вещи и признаться в ошибке, которую не совершал.
Не я, но кто–то другой, со временем, раскрыл бы ошибки, сделанные математиками. Вопрос только будет стоять во времени. Может пройти еще, достаточно большой срок, чтобы придти к этому результату. Не лучше ли это сделать сейчас?
Кто и когда совершил эту ошибку? – тема специальных исследований. Здесь, не обойтись без рассмотрения истории развития математики, поскольку речь пойдет о нашем понимании числа. Историю же становления понятия числа никак нельзя оторвать от истории развития математики.
Читатели, как вооруженные знаниями математики, так и не имеющие специальных знаний, но уверенных в своих знаниях числа, в праве усомниться в существовании такой ошибки. Специалисты в области теории чисел даже откажутся читать это, когда узнают, что речь пойдет, именно об ошибке в этой области. К тому же, представляется маловероятным, что признание этой ошибки и ее устранение могут внести изменения в современную математику.
Из истории изучения грамматики мы хорошо помним, как простая грамматическая ошибка может повлиять на принятие важного решения. Учителя, как пример, приводят в этом случае письмо царя, в котором имеется указание “Убить нельзя помиловать” с пропущенной запятой, от которой зависела жизнь осужденного – если запятая ставилась слева от слова нельзя, то осужденный должен быть казнен, если же справа – помилован.
Логические ошибки могут приводить к не менее тяжким последствиям. Такие древние ученые, как Пифагор, Сократ, Платон, Аристотель и др. вошли в историю, прежде всего, как сильнейшие логики. Среди них Аристотеля называют отцом логики. Но и они предполагали, что любой человек может совершать логические ошибки – кто в большей, а кто в меньшей степени.
Одной из логических операций, раскрывающей содержание понятия, является определение. Нас оно интересует в большей степени, поскольку в нем заключена суть математической ошибки. Философ Платон определил человека как двуногое бесперое существо. Очевидно, что Платон таким определением хотел отличить человека от птиц, которые также являются двуногими, но покрыты перьями.
Философ Диоген ощипал цыпленка и бросил его к ногам Платона, сказав: “Вот твой человек”. После этого Платон изменил свое определение человека на другое – это двуногое бесперое существо с широкими ногтями. Можно ли принять это определение человека? Причем тут перья? Почему в определении человека присутствуют слова ногти и перья? Конечно, это определение не явилось безупречным, и оно менялось ни один раз. Эти определения, построенные на внешних признаках человека, абсолютно не раскрывают сущности человека.
В этом событии раскрывается сущность человека, совсем не подходящая под вышеприведенное определение человека Платоном. Человек никогда не согласится с устоявшимися и общепринятыми объяснениями мира. Он будет искать и другие объяснения. Если при этом исследователь обнаружит, что его объяснение противоречит общепринятому понятию, он постарается обосновать и доказать его. При этом нечего и думать, чтобы общество сразу приняло это правильное объяснение. Это восприятие может длиться очень долго и в начальной стадии может быть даже отвергнуто, как это было с открытием Коперника.
Как видно из приведенного примера, найти правильное определение исследуемого объекта или свойства – задача не всегда разрешимая. В общей логике описаны строгие критерии дачи определения объекта. Если они не выполняются, определение не находят и объект принимается на понятийном уровне. В этом случае вероятность логической ошибки, при введении понятия, возрастает во много раз. На это имеются различные причины, но основной из них является обыкновенный субъективизм.
Каждый из нас воспринимает мир таким, каким его нам представила окружающая среда и общество, находящееся на определенном уровне развития. Если все общество имеет неправильное представление о каком-нибудь предмете или явлении, то этому неправильному представлению обучают и детей, поскольку ни общество, ни дети об этом не знают. При этом это неправильное восприятие считается объективным, хотя на лицо всеобщий субъективизм.
В качестве примера можно привести центристское восприятие мира, пока Н. Коперник не доказал гелиоцентрическое построение мира. В данном случае Коперник имел объективное представление о мире, а все общество имело субъективный взгляд на построение мира и оно никак не хотело воспринимать это объективное представление.
Итак, все общество может спокойно жить, имея неправильное представление о каком-нибудь объекте или явлении, более того, оно может рассматривать его как научное достижение. Если же данный объект был создан и обоснован самим обществом, которое в это время имело на него субъективный взгляд, то без ошибки здесь не обойтись. Дело будет обстоять еще хуже, если объект не был определен и принят на понятийном уровне.
Именно так обстояло дело в математике, когда началось обоснование понятия числа. Период, в течение которого это обоснование завершилось, а он длился примерно прошедшие два века, для истории можно считать очень маленьким, а потому стоит оглянуться назад и разобраться, как это обоснование сформировалось. Хотя два последних века играют решающую роль в формировании понятия числа, тем не менее, исторический анализ должен охватывать кроме нашей эпохи, значительную часть древнего периода.
Работа разбита на пять глав и 25 параграфов. В первой главе, состоящей из трех параграфов, рассматривается история вопроса, с анализом причин создания, существующей теории понятийного числа. Здесь, также, ставиться задача, и объясняется причина, по которой я стал ею заниматься.
Вторая глава, состоящая из четырех параграфов, посвящена раскрытию основной ошибки в математике при создании и обосновании понятийного числа.
В третьей главе, состоящей из пяти параграфов, делается анализ потери трехмерного числа и дается его модель любой размерности, включая и трехмерную.
Самая большая, четвертая глава, состоящая из трех параграфов, посвящена построению универсальной модели числа и рассмотрению ее частных видов – одномерной, двумерной и трехмерной.
Заключительная, пятая глава состоит из двух параграфов. Здесь рассмотрено практическое применение введенных моделей с точки зрения выполнения над ними обычных действий, которые мы сейчас совершаем над “числами” и векторами. Здесь же затронута проблема обучения математике без чисел.
Автор.
Глава первая. МИСТИКА И МАТЕМАТИКА.
§1. История вопроса.
В математической энциклопедии [1, т. 5, с. 873] говориться, что “ЧИСЛО – основное понятие математики, сложившееся в ходе длительного исторического развития. Возникновение и формирование этого понятия происходило вместе с зарождением и развитием математики. Практическая деятельность человека, с одной стороны, и внутренние потребности математики – с другой определили развитие понятия числа”. Это вся информация о числе, ибо дальше даются определения числа натурального, целого, рационального и т.д. Этой информации абсолютно недостаточно и она порождает многочисленные вопросы, ответы на которые, в имеющейся литературе о числе, найти невозможно.
Что понимать под фразой «внутренние потребности математики»? Может быть такие потребности есть и у других наук и тоже находятся с другой стороны «практической деятельности человека». А внешние потребности, стало быть, не влияли на «развитие понятия числа»? Если проанализировать фразу «в ходе длительного исторического развития», то придем к выводу, что это не совсем так. Она вполне соответствует периоду от первобытно-общинного строя до новой эры (несколько тысячелетий). Период же нашей эпохи и особенно ее завершающая часть (200 – 300 лет), когда математики заверили мир, что они знают, что такое число, является ничтожно малым, по сравнению с первым. Но, именно, в этот период математика развивалась бурно и скачкообразно, когда отдельный математик мог, без всякого умысла, проигнорировать историю и изменить направление развития понятия числа по своему субъективному мышлению. Поэтому, упомянутую фразу относить к периоду нашей эпохи нельзя, ибо нельзя считать, что на нем достаточно отразилась «практическая деятельность человека».
К этому выводу можно придти очень просто. Для этого достаточно сравнить понятие числа до новой эры и сейчас. В первом случае отчетливо видны следы этой «практической деятельности», ибо число все еще привязано к вещи. Во втором случае - никаких следов. Так, из своих исследований, Леви-Брюль приходит к выводу, что попытки научить туземцев Новой Померании нашему счету, были неудачны: «Считать дальше 10 для них было труднее, чем для наших ребят усвоить пресловутое умножение «одного на один», [5, 130]. Отмечались случаи полного нежелания освоения нашего счета. В то же время, практическая деятельность заставляла их проводить сложные вычисления, с которыми они успешно справлялись с помощью своего счисления.
Из этого сопоставления, можно придти к выводу, что наша числовая система довольно-таки молодая. А весь период развития числа в нашей эпохе будет характеризоваться потерей им материальности и переходом в абстрактное представление. Что нам было дано и во что мы его превратили. Чтобы это осознать, нам нужны туземцы и другие очаги жизни, сохранившиеся от цивилизации.
В этом же издании [2, т. 3, с. 560] читаем, что “МАТЕМАТИКА – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира”. Следовательно, “ основное понятие математики ” должно отражать “количественные и пространственные формы” нашего реального мира. Какую же пространственную форму действительного мира или количественное отношение отражает существующее понятие числа? Этот вопрос правилен по той простой причине, что математика, и понятие числа не могли развиваться в отрыве друг от друга. Что мы можем сказать об этом для конкретного числа
? – ничего, пока нам не известно о каком виде числа идет речь. Каким образом “ основное понятие математики ” отражает “пространственные формы и количественные отношения”? Можно ли количественные отношения описывать с помощью чисел, а числа количеством? Правильно ли мы употребляем термины: число, величина, модуль, арифметическое значение, корень и решение уравнения и т. д.?
В громадной математической литературе мы не встретим разъяснения связей между этими терминами, хотя определение каждого термина найти нетрудно. Рассматривая эти определения в совокупности, нетрудно убедиться в существовании различного рода их несоответствий. Так, например, в учебнике Никольского и др. говориться, что “… формализм арифметики необходим для практики вычислений. Конечно, должна быть ещё и общая идея. Такой идеей является формирование понятия числа как длины отрезка, а ещё точнее – как координаты произвольной точки прямой”. [6, 8] Здесь авторы, только что рассуждавшие о логике, тут же её нарушают, ибо длина и координата, совершенно разные понятия. Одно из них имеет размерность, а другое – нет и сформировать такое понятие числа невозможно, хотя авторы считают, что они его осуществили. Общего понятия числа в учебнике так и не дается. Считается, что оно уже понято до чтения.
Более тесную увязку определения математики и понятия числа, а, следовательно, связи его с природой, мы встретим у Кольмана. Он отвёл формированию понятия числа первую ступень абстракции, по времени совпадающую с зарождением самой математики, и эту ступень он делит на две: “Самый процесс счета первоначально состоит из пересчитывания… возникает сначала понятие п о р я д к о в о г о числа.… Лишь на значительно высшей ступени развития число отделяется от этого порядкового содержания, выступая как количественное число. Это происходит лишь тогда, когда укрепляется убеждение, что количество не зависит от порядка счета. Нужно, однако, отметить, что существует и другой взгляд, согласно которому количественное число исторически и логически предшествует числу порядковому” [7,12].
Действительно, так например, Арнольд дает построение натурального числа, сперва как количественного, а потом, как порядкового и считает, что “В теории конечных натуральных чисел имеется…полный параллелизм между формальными свойствами системы конечных количественных чисел (§ 15), достаточных для определения класса каждого множества, и только что (§ 20) построенной системой конечных порядковых чисел, достаточных для определения (путем нумерации) порядкового места элемента во всяком конечном упорядоченном множестве” [8,71]. Такой же подход и у Брадиса [9]. Получается, что Кольман сам признается в нелогическом подходе в этом вопросе. Где же истина?
Описание отражения числами объектов реального мира в этой литературе встретить маловероятно. Но оно всё-таки есть! Так Цейтен пишет: “Известно, что Пифагор видел в числе принцип всего сущего и говорил: вещи суть числа” [10, 54]. Далее идет собственное мнение автора об этом высказывании Пифагора: “Так как слово “число” означало у греков целые числа …, то афоризм этот … вполне гармонировал с … исследованиями пифагорейцев по теории целых чисел, а также с мистическим значением, которое они придавали некоторым численным отношениям. …
Сами по себе слова эти означают просто, что всё доступно числовому определению, и так как речь здесь могла идти лишь о величине вещей, то они означают, что величины эти могут быть выражены числами. Это, действительно, относится к соизмеримым величинам, если взять достаточно малую единицу меры. Таким образом, в приведенном изречении не было бы ничего загадочного, если бы именно пифагорейцы не открыли, что величины одной и той же природы не всегда бывают соизмеримы и что, следовательно, понимаемое буквально изречение это ложно.
Отсюда не следует, однако, что данное нами объяснение, – которое одно только соответствует греческому употреблению слова число – является ошибочным. Возможно, что цитированное выше пифагорейское изречение древнее открытия несоизмеримых количеств; возможно даже, что попытки доказать его правильность привели к открытию этих количеств. Философскую формулу, с которой связан целый комплекс различных соображений, не отбрасывают так легко даже тогда, когда убедились в ошибочности её первоначального смысла; смысл этот пытаются видоизменить так, чтобы им можно было пользоваться и в дальнейшем, и возможно, что пифагорейцы сделали попытки такого рода” (там же с.с. 54-55). Вот такие рассуждения и выводы, которые Цейтен поместил в разделе “Бесконечное”, хотя, как он признаёт, нет никаких поводов, утверждать, что в школе Пифагора вещи определялись бесконечно малыми величинами
Итак, Цейтен считает это изречение Пифагора философским, которое можно считать неверным из-за открытия несоизмеримости величин, но, как философское изречение его отбрасывать нельзя. Аналогично обстоит дело с его утверждением о том, что в этом афоризме речь идет о возможности выражать величины вещей числами. Если бы это было так, то они бы говорили вещи суть величины. Но этого у Пифагора нет, а потому выражать величины вещей числами (т.е. вещами же) они не могли.
Но у Цейтена нет никаких поводов утверждать и то, что пифагорейцы занимались теорией целых чисел, ибо это не вяжется с тем , что они в каждой вещи видели число. Возьмем камни. По Пифагору каждый камень – число. Изучение целых чисел – изучение целых камней или целых вещей. Могут ли вещи делиться на целые и не целые?
Относительно несоизмеримости величин одной природы, открытой пифагорейцами, следует рассуждать, именно, с их точки зрения. Тогда мы придем к выводу, что здесь речь не идет о числах, поскольку величина вещи – это не вещь, следовательно - не число. Никто из последователей Пифагора, да и сами историки не связывают величины с вещами. Не связывают пифагорейцы и величины с числами. В нашем же понимании количество и качество мы можем выражать с помощью чисел, а потому историки, не учитывая этого факта, сами делают ошибку, а Пифагору приписывают мистицизм.
Обвинение Пифагора и его школы в мистицизме можно встретить и у других математиков. Так, например, Рыбников считает, что “Особенностью школы Пифагора являлось то, что отдельным числам и числовым соотношениям приписывались таинственные магические свойства, а само занятие теорией чисел рассматривалось как удел “избранных” и “посвященных”. Числовой мистицизм пифагорейцев, разумеется, имел не естественнонаучное, а социально-политическое происхождение”, [11, 27]. Вот такой приговор пифагорейцам зачитывался на лекциях начинающим математикам. Почему это “разумеется”, автор не объясняет, считая его математическим очевидно.
Никифоровский же утверждает, что “математика и числовая мистика были перемешаны в учении Пифагора. Но позднее пифагорейцы смогли получить в математике значительные результаты”, [12,22]. Выше мы видели, что нельзя оторвать математику от ее основного понятия. Нет чисел, нет и математики. Как можно перемешать математику и мистику её основного понятия и в результате этого проводить успешные исследования? Не логично. Обвинение в мистицизме Пифагора и его последователей, вплоть до Кеплера, дошло до нашего времени.
Аналогичной позиции придерживается и Д. Стройк, предполагая свою версию в становлении мистицизма пифагорейцев: “Вероятно, от группы софистов, которые в некоторой степени были связаны с демократическим движением, отмежевалась другая группа философов с математическими интересами, примыкавшая к аристократическим объединениям. Они называли себя пифагорейцами в честь основателя этой школы Пифагора, который, предположительно, был мистиком, ученым и государственным деятелем аристократического толка. Софисты в большинстве подчеркивали реальность изменений, пифагорейцы стремились найти в природе и обществе неизменное … Арифметика пифагорейцев была в высшей степени спекулятивной наукой и имела мало общего с современной ей вычислительной техникой Вавилона. Числа разбивались на классы … Сами фигуры значительно старше; ведь некоторые из них мы находим в неолитической керамике. Пифагорейцы же исследовали их свойства, внесли сюда налет своего числового мистицизма и сделали числа основой своей философии вселенной, пытаясь свести все соотношения к числовым” (“все есть число”). Точка была “помещенной единицей”[18].
В истории неизвестны другие мистики, которые бы прославились на века такими научными достижениями, которыми мы пользуемся до сих пор. Действительно, многие хотели бы быть такими мистиками, если бы они имели те результаты, каких добились пифагорейцы. Правомерно ли наше обвинение в мистицизме школы Пифагора и его самого, ухитрившегося быть ученым, государственным деятелем, организатором и руководителем школы? Скорее всего, это сугубо субъективное суждение, хотя оно встречается у большинства математиков. Мы считаем себя вооруженными знаниями о числе. Число мы не считаем вещью, а любую вещь числом, а тех, кто это будет делать, обвиним в мистицизме. Но как могло возникнуть или зародиться знание о числе без связи с природой? Неужели наши древние предки стали сразу мыслить абстрактно? Ведь искать, в то время, связи между получаемыми математическими результатами с природой и ее явлениями было естественно.
Вещественность числа во времена Пифагора была очевидной. Свидетельство вещественности чисел сохранилась и до нашего времени в виде четок и вытесняемых калькуляторами счетов, которые широко использовались в торговле, бухгалтериях и даже изучались в школах. Вещественность чисел никогда не исчезнет совсем. Для этого необходимо, чтобы мы остались без пальцев и даже рук.
§2.Постановка задачи.
Известно, что наше понятие действительного числа не имеет никакой связи с определением математики, ибо мы не можем увязать понятие числа с природой. Если число не связано с вещью, то оно не имеет никакого отношения к природе. Математика, которая должна заниматься объектами действительного мира, создаёт основное понятие, не связанное с природой. Но, как мы увидим в дальнейшем, это относиться только к действительным числам, а для комплексных чисел определение Пифагора, или вышеупомянутый афоризм, вполне подтверждаются. Показать это, раскрыть противоречия и ограничения, существующее в понятии числа – одна из целей этой книги.
Вторая цель – показать пути устранения их и показать, открывающиеся после этого возможности сближения с природой и её объектами. Если мы сумеем каждую природную вещь описать с помощью абстрактной модели, то исследование этой вещи станет проще. Точное, пифагорейское, определение (не понятие) числа и его математической модели устранит постановку не нужных задач абстрактного мира.
Автор не исключает тех трудностей, которые могут возникнуть при воплощении идеи книги и её публикации, ибо она идёт в разрез нынешней теории. А эту теорию крупнейшие специалисты в области чисел считают обоснованной.
В данной работе будет показано, что отход от пифагорейского определения числа к его нынешнему, исторически сложившемуся понятию, привел к существенному противоречию, проявляющегося при переходе от действительных чисел к комплексным. Аналогичные противоречия появляются и при дальнейших расширениях понятия числа. Эти противоречия имеют прямое отношение к неудаче в поиске элементарного доказательства ТФ. Возврат к природе, установление связи с вещью автоматически снимут проблему с ТФ. Существует n – мерная (n=1,2,3,…) модель числа, которая, для любого n, имеет одинаковую структуру. С моделями чисел можно выполнять все известные нам действия, выполняемые нами сейчас с “числами” и векторами.
§3.Роль теоремы Ферма.
Как это получилось, и почему я стал заниматься этой темой? Случайность. В 1982 году, после защиты кандидатской диссертации, в ожидании диплома из ВАКа, я бездельничал на своей инженерной должности за 140 р. и строил планы по дальнейшим исследованиям, поскольку, как и большинство молодых ученых считал, что зацепил научный “Клондайк”. Заодно искал себе должность посолиднее. Но беда подстерегала меня в обычном книжном магазине – в образе книги [13], которую я купил из любопытства.
Разумеется, я и раньше слышал о великой теореме Ферма ( коротко ТФ), но совершенно был к ней безразличен. И для меня было бы, вероятно, лучше, если бы и сейчас, я поступил также. Напротив, в этот раз я решил применить свои диссертационные знания к решению задачи из теории чисел. И, как многие из заблудившихся, уже через три месяца начал считать, что доказал эту теорему, пока не был обескуражен специалистом с кафедры теории чисел. Однако его опровержением я остался не удовлетворённым.
В это время я перебрался на должность доцента кафедры высшей математики. Подготовка к занятиям, общественная и плановая научная работа, а также семейные заботы не позволяли уделять много времени работе не по тематике. Поэтому, теоремой пришлось заниматься эпизодически, в течение нескольких лет, не раз попадая в ситуацию индивида, доказавшего теорему. От окружающих я не скрывал своего увлечения и своей уверенности в том, что элементарное доказательство существует, и оно будет найдено. Одни относились ко мне сочувственно, соглашаясь, что у меня скоро будут успехи, другие называли меня фермистом, третьи смеялись.
Ситуация, сложившаяся в мире в отношении ТФ, является сложной. Имеется большая группа математиков и, вероятно, к ним относится большинство специалистов в области теории чисел, считающих, что доказательство ТФ будет получено на высшем уровне развития математики. Из этого мнения немедленно следует вывод, что использование элементарных методов поиска доказательства – пустая трата времени. Автор вышеуказанной книги, очевидно, принадлежит к их числу. Таким образом, сами специалисты стали играть тормозящую роль в получении элементарного доказательства.
Действительно, убив в начинающем исследователе надежду на возможность найти доказательство ТФ, его толкают на путь изучения современных достижений в теории чисел. Сообразительный исследователь, поняв, что покушается на невозможный шаг, откажется от дальнейших своих намерений. С другой стороны тот, кто решиться на него, сам станет специалистом в области теории чисел и примет эту же позицию. Не потому ли сами математики, а специалисты в большей степени, уверены, что прогресс в этой области возможен только у крупных математиков.
А как быть несообразительным? Чаще всего они считают, что в силу каких-либо причин тот или иной метод доказательства не был рассмотрен, а вот они его найдут или надеяться найти. Не имея базового образования по теории чисел, но из-за своей многочисленности, они, как трудолюбивые мураши, продолжают поиск доказательства. Именно эта среда является плодотворным поставщиком “авторов” доказательства, среди которых могут быть представители самих различных профессий – от рабочего до ученого.
Допустим, что один из них решил обнародовать свой результат. С чем он столкнётся? Если он не имеет среди математиков друзей, которые, в свою очередь, должны иметь связи со специалистами по теории чисел, то он попросту будет отвергнут. Математик – не специалист посоветует ему обратиться к специалисту. До специалиста могут попасть только его письменные результаты, которые легко отвергаются из-за не строгости изложения. Некоторые кафедры математики вообще не принимают к рассмотрению доказательств ТФ. Есть и такие специалисты в области теории чисел, которые поиск этого доказательства сравнивают с построением вечного двигателя, приговорив к научной смерти и свои, и чужие исследования в этом направлении.
Итак, мы видим, что вторая категория исследователей находиться в бесправном положении, по отношению к первой. Совсем будет не удивительно, если вдруг окажется, что ТФ оказалась доказанной, но отвергнутой специалистом. Ведь зачастую эти отзывы маститые математики, заведомо считая, попавшее к ним очередное покушение на доказательство ТФ не реальным, поручают писать молодым специалистам или математикам других направлений. Вероятность ошибочности такого отзыва значительно возрастает.
Наконец, имеется ещё и промежуточная категория исследователей, имеющих математическое образование, но не изучавших теорию чисел. Работая в смежных областях математики, они могут из личного интереса или из любопытства заняться ТФ. В истории известны случаи, когда исследователи, занявшись новым направлением, вносили значительный вклад в его развитие. Тем более, что в ранний период исследования носили универсальный характер и физика от математика не отличали. Ученые были универсалами. Сейчас положение коренным образом изменилось. Теперь, даже математик, если он не является специалистом в области теории чисел, занявшись ТФ, будет выглядеть “белой вороной”. Представители этой категории могут примыкать к обеим крайним группам исследователей и испытывать такие же трудности, что и бесправные. Добиться признания своих достижений им также нелегко – для этого им надо пройти много инстанций специалистов. На какой-то из них они, в основном, сходят, не выдерживая возникающие препятствия. Я себя отношу к последней категории, но не сошедшим с дистанции. С ТФ же мною покончено по причине, которая выясниться из дальнейшего изложения.
Глава вторая. ОСНОВНАЯ ОШИБКА В ПОНЯТИИ ЧИСЛА.
§4. Простейшие понятия логики.
Здесь будут приведены простейшие сведения из логики. Излагаемые сведения совсем не касаются математической логики, а относятся к ее общему содержанию. Человек – разумное существо и, прежде всего, этим он отличается от животного. Стремление каждого человека приспособиться к окружающему миру, выжить, находить питание, бороться за лидерство или добиваться осуществления своих целей, заставляют его думать. Правильное мышление и принятие решений помогают в осуществлении поставленных целей, в противном случае – усугубляют ситуацию. Очевидно, что логика – самая древняя наука и начала развиваться с появлением человека. Определение логики, в течение веков, претерпело значительные изменения. Нас устроит определение и назначение логики, данное в БСЭ: “Логика …, наука о приемлемых способах рассуждения. …. В духе традиции с понятием логики связываются три основных аспекта: о н т о л о г и ч е с к и й – “логика вещей”, т. е. необходимая связь явлений объективного мира (Демокрит); г н о с е о л о г и ч е с к и й – “логика знания”, т. е. необходимая связь понятий посредством которой познается “сущность и истина” (Платон), и д е м о н с т р а т и в н ы й (доказательный), или с о б с т в е н н о л о г и ч е с к и й, - “логика доказательств и опровержений”, т. е. необходимая связь суждений (высказываний) в рассуждениях (умозаключениях), принудительная убедительность (общезначимость) которых вытекает только из формы этой связи безотносительно к тому, выражают эти суждения “сущность и истину” или нет (Аристотель). Первые два аспекта относятся к философии и диалектической логике, последний же аспект составляет с о б с т в е н н о л о г и к у, или современную логику)”, [14, 595].
В наших рассуждениях важны все три аспекта, поскольку нам необходимо будет установить связь числа с природой, выявить необходимые отношения между понятиями и провести рассуждения с выводами.
Логику также определяют как науку о правильном мышлении, а ее предметом – изучение законов правильного мышления. Согласно Струве “Логика, как наука о правильном мышлении … указывает на условия точного исследования и ясного уразумения предметов и становится, таким образом, наукою или теорией познания истины”, [15, 2].
Основные законы мышления различают четыре. Первый или основной закон мышления называется законом тождества, и означает, что “Истина всегда и везде одна и та же, согласна сама с собою; она никогда и нигде не изменяет своего содержания” [15, 7]. Если мысль A истина, то она всегда и везде A. Формула этого закона имеет вид A= A..
Второй закон мышления называется законом противоречия: “Всякое противоречие в мышлении исключает возможность познания истины”, [15, 9], его формула
A не non- A,
где non- A – означает не – A.
Третий закон мышления – закон исключенного третьего: “Между утверждением и отрицанием одной и той же мысли нет ничего третьего или среднего; каждое из них, т. е. или утверждение или отрицание, всегда или истина, или ложь” [15, 12] и выражается формулой
A= или B, или non-B.
Четвертый закон мышления – закон достаточного основания: “Каждая мысль может быть признана истиною лишь при достаточном основании”, [15, 14] и выражается формулой
Почему A- B или non-B?
Объекты природы, возбуждающие наше мышление, имеют свои свойства, которые в логике называются признаками. Сочетание всех признаков предмета в одно целое, соответствующее самому предмету, называется представлением. Сочетание же в одной мысли лишь тех признаков, без которых предмет не может существовать, т. е. его существенных признаков, называется понятием. Отметим, что “в понятии мы должны отличать: во 1-х, совокупность всех существенных признаков данного предмета, и,
Во 2-х, совокупность всех предметов, из которых извлечены эти признаки.
Совокупность существенных признаков предмета называется содержанием понятия …; совокупность же предметов, из которых извлечено понятие, т. е. Совокупность предметов, объединенных и обнимаемых понятием, называется объемом понятия …” [15, 22].
Понадобятся нам и виды умозаключений: “Дедуктивное умозаключение, или силлогизм, как вывод частного заключения из общего положения при посредстве частного основывается на отношении подчинения понятий, входящих в состав силлогизма, …, индуктивное умозаключение, или индукция, наведение есть вывод общего заключения из частного положения при посредстве общего”, [15, 94 и 112].
§5. Содержание 44 параграфа из учебника И. Арнольда.
“Принцип перманентности Ганкеля.
Изложенный здесь метод установления основных определений при расширении понятия числа в несколько иной форме известен под названием принципа перманентности Ганкеля… .
Этот принцип может быть формулирован следующим образом.
Пусть на некотором этапе расширения понятия числа некоторое действие не всегда выполнимо в имеющийся числовой системе и требуется расширить понятие числа, введя новую категорию чисел так, чтобы интересующее нас действие было всегда выполнимо в расширенной числовой системе. Утверждение принципа перманентности заключается в том, что в подобного рода случаях элементы новой числовой системы должны: 1) однозначно соответствовать символам, выражающим результат рассматриваемого действия в тех случаях, когда оно невыполнимо в прежней числовой системе, и 2) подчиняться тем же формальным законам, которым, в случаях выполнимости действия, подчинены соответствующие символы, в прежней числовой системе.
В рассмотренных выше построениях, для которых смысл этого принципа был нами полностью выяснен, речь должна была бы идти о действиях вычитания и деления и символах разности и частного a:b. При введении иррациональных чисел речь шла бы об операции образования числа, производящего разбиение числовой системы на два класса …, или об операции предельного перехода и символе предела … при введении мнимых – об операции решения квадратных уравнений и символах, выражающих в радикалах корни таких уравнений.
Говоря о “перманентности” (permanere – оставаться, сохраняться) и имеют в виду указанное сохранение основных формальных законов операций для символов, выражающих невозможное в прежней числовой области действие, и рассматриваемых, как элементы новой, расширенной области.
Обратно, при “синтетическом” построении соответствующей теории, на основании принятых таким образом определений, принцип перманентности дает себя знать в требовании, чтобы новые определения не противоречили прежним в тех случаях, когда н о в ы е числовые объекты, по определению, совпадают с прежними. … .
Во всех этих случаях суть дела заключается, очевидно, в том, что мы оперируем при указанном сохранении формальных законов как раз с теми общими взаимоотношениями, которые мы желаем отразить в новой числовой области.
В связи с этим следует заметить, что активная роль принципа перманентности в его формальном аспекте с исторической точки зрения не так уж велика. Если обобщению понятия числа в некоторых случаях и предшествовало оперирование по привычным законам с выражениями, не имевшими смысла в первоначальной числовой области, то такое оперирование являлось во всех случаях источником недоумения и постоянных сомнений в вопросе о том, что называть числом, а что нет. Лишь осознание Конкретного смысла новых числовых символов в их связи с изучением скалярных и иных величин одновременно со строгим формальным обоснованием соответствующих теорий устраняло указанные сомнения, следы которых до сих пор сохранились в терминах “иррациональный”, “мнимый” и т. д., которыми первоначально характеризовались новые категории чисел”, [8, 144].
Краткое изложение работы.
Вопрос в заголовке интересует всех, кто хоть чуть-чуть знаком с этой теоремой. Остается ли ее доказательство проблемой или она уже доказана и снята с повестки дня? Здесь вы получите точный ответ на этот вопрос. Для тех, кто не знаком с нею, поясним ее смысл.
Возьмем любые два произвольных целых числа x и y. Очевидно, что всегда существует третье число z, которое равно их сумме:
, например, полагая x=3 и y=4, получим 3+4=7, т. е. z=7. Таких соотношений можно написать бесчисленное множество: 12+29=41, 25+120=145 и т. д. . Если же мы возьмем сумму квадратов двух произвольных целых чисел
, то для них, уже, не всегда можно найти третье целое число
так, чтобы выполнялось равенство
Но такие тройки целых чисел, все-таки, существуют, например 3, 4 и 5, так как
; 5, 12 и 13, так как
и т. д. Их, в честь автора теоремы Пифагора называют пифагоровыми тройками и математики разработали алгоритм нахождения таких троек.
Другая ситуация у нас сложится, если мы попытаемся найти такие тройки целых чисел для кубов. Увы, такой числовой пример, мы привести не можем.
В знаменитой теореме Пьера Ферма, опубликованной в 1665 году, утверждается, что для любых степеней больших двух, таких целых чисел не существует. Т. е. уравнение
для n>2 в целых числах не разрешимо. Простота этого утверждения и объявленная за доказательство премия побуждают к его немедленному поиску.
Однако, найти элементарное доказательство для общего случая, никому не удалось, хотя сообщений об их нахождении было много. Сам Ферма сообщал, что он нашел удивительное доказательство этого утверждения, но в его трудах такого доказательства не нашли.
Тем не менее, известно, что элементарные доказательства для конкретных значений n существуют. Для n=3 доказательство знаменитого ученого Петербургской академии наук Л. Эйлера; для n=4 самого П. Ферма, для n=5 – И. Дирихле и Г. Ламе и много других доказательств, даже для больших значений n, включая доказательство на ЭВМ. Считается, что они безупречны. По крайней мере, критики этих доказательств в математической литературе почти нет. А вот элементарного доказательства для произвольного значения n=3, 4, 5,…, как не было, так и нет.
Здесь я замечу, что такого доказательства нет и для n=2. Теорема Пифагора не может служить основанием такого доказательства, ибо в ней говориться о длинах сторон прямоугольного треугольника, имеющего прямой угол (аргумент), но не о числах. Но математики считают, что для этого случая и тем более для случая n=1таких доказательств не требуется. Будущее покажет, что это не так.
На базе исследований по доказательству теоремы Ферма, получила развитие целая ветвь математики – алгебраическая теория чисел. Полученные здесь “научные достижения” таковы, что они полностью затмевают отсутствие элементарного доказательства. С другой стороны пути достижения результатов здесь настолько усложнились, что, порой, надо проводить дополнительные исследования, для установления их правильности или ошибочности. А это не всегда возможно.
Поставленные кавычки означают, что эти научные достижения не имеют никакого практического применения в какой-либо области деятельности человека и представляют интерес только для математиков, работающих в области теории чисел.
Соискателей доказательства теоремы Ферма можно разбить на две основные группы – специалистов в области теории чисел и не специалистов. Первая группа вполне годится в качестве экспертов для второй группы, а у первой группы таких экспертов нет. В этом случае в качестве экспертов выступают различные консилиумы, включающие в свой состав специалистов, на счету которых имеются неоспоримые научные результаты. Понятно, что собрать такой консилиум возможно не всегда.
Члены консилиума, поскольку не знают доказательства, будут проверять правильность представленного доказательства. Если доказательство не является элементарным, то вероятность ошибки, как автора, так и проверяющих экспертов, может носить случайный характер, независимо от исхода проверки.
Так, например, очень долго не элементарным доказательством теоремы Ферма считалось доказательство молодого ученого из Японии. Потребовалось время, чтобы разобраться в нем и вскрыть ошибку, что нанесло глубокую душевную травму автору доказательства. Таких случаев было много. Тем не менее, автором последнего не элементарного доказательства считается математик-физик Принстонского университета Уоллес. Его доказательство не смогли опровергнуть в течении двух лет после представления, а потому, согласно условию, ему и вручена премия. Нет никакой гарантии, что это доказательство верно!
Самая последняя публикация о нахождении элементарного доказательства теоремы Ферма была в газете «Труд-7» №156 за 25-31 августа 2005 года. Однако подтверждения этого не последовало. Не мало добровольцев штурмующих это доказательство есть и в Узбекистане. Информацию об этом, вероятно, можно получить в институте математики АН Республики Узбекистан.
Я сам занимаюсь этой проблемой с 1982 года. Примерно 20 лет я потратил на поиск элементарного доказательства. Убедившись в бесполезности этой работы, сумел переключить себя на исследование истории становления современного понятия числа. Тут и оказалась тайна теоремы Ферма. Открытие оказалось неожиданным. Для математиков оно будет сенсационным, ибо они узнают, что пользуются неправильным понятием числа.
Известно, что открытию Коперника никто не верил, и он сам подвергался за свое открытие преследованию со стороны церкви. Признано же оно было, примерно, в течение 100 лет. Аналогичная ситуация будет и с моим открытием, признавать которое не захотят, именно, математики, особенно специалисты по теории чисел.
Причина этого противодействия простая. Современная теория чисел, считающаяся вершиной всей математики, окончательно сформировалось, примерно, за последние двести лет, – периода очень маленького, по сравнению с тысячелетиями. Аксиоматическое построение понятия числа содержит ошибку, которая нам совершенно не видна и с которой мы прекрасно уживаемся. Может ли одна из точнейших наук, применением которой оценивается развитие других наук, содержать ошибку? Представить это невозможно. Но эта ошибка не математического, а чисто философско-логического характера.
В древности, известные мыслители считали грубой ошибкой дачи имени объекту, имеющему имя или дачи имени образу объекта имя самого объекта. Такую ошибку и содержит современное понятие числа. Оказывается, что существующее понятие числа в корне отличается от его древнего представления, сформировавшегося естественно - историческим путем. Чтобы убедиться в этом, достаточно заглянуть в «Четвертую книгу Моисеева: Числа» из Библии и осмыслить определение числа, данное Пифагором. По Пифагору и Библии число – материальный объект, по нашему представлению - это скаляр и не определяемое первичное понятие. Разница существенная.
Создавая аксиоматику натуральных чисел, Пеано и его последователи считали, что они знают, что такое число. Увы, они простейшее изображение числа приняли за число! Это изображение можно также назвать абстрактной моделью числа. Мы верим великим математикам, а потому, не осознавая этого, модель числа принимаем за число. Если я назову себя Богом, я сделаю равноценную ошибку, ибо, согласно Библии, Бог создал человека по своему подобию. Аналогичную ошибку можно сделать, называя изображение любой вещи – самой вещью.
В повседневной жизни, мы на эти ошибки не обращаем никакого внимания, например, показывая свою фотографию, мы говорим «это я», хотя надо сказать «это мое изображение». Аналогично мы воспринимаем и свое отражение в зеркале. Очевидно, возможны случаи, когда мы не можем определить, что видим – вещь или ее изображение? Такие ошибки допустимы в нашем общении, но совершенно не допустимы в общениях между различными интеллектуальными системами.
Противники Пифагора, появившиеся накануне нашей эры, связали, данное им определение числа, с его мистицизмом. Прошло более двух тысяч лет, однако этот диагноз продолжает устраивать и современных математиков. В настоящее время они также будут отвергать ошибочность в понятии числа. Разве могли великие математики допустить ошибку?
Пифагор, дав правильное определение числа, не смог найти его изображения. Скорее всего, этим поиском и занимались в его закрытой школе, так как исследование пропорций – один из путей нахождения изображения. Но, поскольку пифагорейское определение числа было отвергнуто, то в нашей эре, поиском его изображения никто не занимался. Появление изображения числа никто не заметил и это изображение поняли как число, не найдя для него подходящего определения.
Если принять правильное материальное определение числа, данное Пифагором («Вещи суть числа), теорема Ферма становится несостоятельной, т. е., поиск ее доказательства, теряет смысл. Математическое обоснование этого достигается с помощью обобщенной теоремы косинусов, частными случаями которой являются обычные теоремы косинусов и Пифагора.
Математики могут сказать, что все написанное неверно, поскольку имеются, как указано выше, частные случаи доказательств теоремы Ферма. Да, имеются, но все они содержат ошибки, хотя доказаны авторитетами. Основная из них – косвенное использование аргумента, который в условии ВТФ отсутствует. Отсюда же следует, что все, не элементарные, доказательства также ошибочны.
Для тех, кто начинает этим заниматься, рекомендую не тратить зря времени. Тем, кто находиться в состоянии доказавшего эту теорему и желающего получить отзыв эксперта может настоящую статью считать таким отзывом.
Потерянное природное определение числа, конечно, хотя бы в течение длительного периода (более 25 лет), будет возвращено человечеству, и последствия в развитии математики будет огромны. Остановимся на некоторых из них.
- Число станет вполне определимым понятием (за основу можно взять определение, данное Пифагором);
- Рабочими инструментами математиков будут абстрактные модели чисел, а потому все вычисления будут иметь природное толкование.
- На моделях чисел можно проводить абсолютно все операции, которые мы проводим с числами и векторами.
- Существенные изменения претерпит алгебраическая теория чисел, поскольку теория чисел – это наука всех наук, которую изучают все живые существа.
- Математика, как это не парадоксально, займет место в одном из разделов физики, изучающего числа - вещи и их взаимодействия на их абстрактных моделях - векторах.
- Проблема Ферма однозначно снимется с повестки дня из-за несостоятельности теоремы. Ошибки, которые совершенно не видны в имеющихся частных доказательствах, станут очевидными. Однако, поиск решения этой проблемы, позволил вскрыть ошибку и ограниченность построенного понятия числа.
- Такая же участь постигнет и теорему Фробениуса, доказанную на базе кватерниона – объекта, который не может быть ни вещью, ни моделью какой-либо вещи;
- Модели чисел будут иметь любую размерность. В данное время, у математиков, живущих в трехмерном пространстве, нет трехмерных чисел!
- Структура моделей чисел будет одинаковой. Сейчас, у математиков, действительные числа считаются скалярами, комплексные числа – векторами, кватернионы – одновременно, и скалярами и векторами!
Разумеется, изменение наших взглядов на перечисленные вопросы, особенно у крупных математиков, будут происходить с большим сопротивлением, которое, мы, вынуждены будем преодолеть.
Приложение. Теорема (косинусов, обобщенная). Если, для отличных от нуля, векторов x, y и z
выполняется соотношение
n=1, 2, 3,…, причем векторы x, y и z не коллинеарные, тогда существует треугольник со сторонами
соответственно.
Геометрический смысл обобщенной теоремы косинусов
Теорема Ферма может действовать только там, где нарушаются условия обобщенной теоремы косинусов. Но об аргументе в теореме Ферма ничего не говориться, следовательно, ее формулировка является не строгой. Отсюда следует бессмысленность поиска ее доказательства. В ТФ я включил, игнорируемые всеми случаи n=1 и n=2, поскольку считаю, что для этих случаев доказательств тоже нет. Наверно математики считают, что здесь все очевидно. (Конец краткого изложения работы).
§6. Основные противоречия при расширении понятия числа.
Считается, что обоснование понятия числа, в основном, проходила во второй половине XIX века. Согласно Арнольда “По пути анализа понятия числа удалось установить, что ряд обобщений этого понятия, вызывавших сомнения методологического характера с самого начала своего возникновения, допускает строгое логическое обоснование на основе понятия натурального, т.е. целого положительного числа”, [8, 9].
Все остальные виды чисел, начиная с целых, определяются по индукции, и каждое расширение этого понятия обосновывается необходимостью выполнения действий, которые в прежней системе были невыполнимы. Итак, категория “числа”, содержащая в себе виды чисел, не имеет определения. За то, в этой категории, все виды чисел определены на основе натуральных, – считающихся в этой категории простейшими, из-за ограниченности, выполнимых в ней, действий.
Попробуйте в какой-нибудь другой категории найти такую зависимость. Например, в категории “человек”, содержащей виды кавказец, монгол, негр и др. – мы никак не сможем определить, например монгола через кавказца или наоборот. С такими же трудностями мы встретимся в категориях “зверь”, “камни”, “мебель”, “многоугольники” и др. Математики могут возразить такому подходу, имея в виду то, что число – понятие абстрактное. Если это так, то оно должно отражать какие-то объекты действительного мира или отношения между ними. Используя это, можно было бы создавать абстрактные модели и, с их помощью, изучать природные явления. Абстрактная модель не требует никаких затрат. Она продукт нашего мышления. Но эта модель должна отражать конкретные объекты или явления реального мира, иначе в ней нет необходимости, кроме, как использовать ее в фантастике. Является ли число или каждый его конкретный вид моделью какого-нибудь объекта реального мира?
Обоснование понятие числа проведено великими математиками, которые считали, что они знают, что такое число и что существуют их различные виды, введенные для выполнения высших операций. Надо было построить теорию закономерности, на их взгляд, процесса развития и расширения понятия числа. Эта задача и была, не без трудностей, ими выполнена. Но, в этом случае, этот процесс похож на решение задачи с известным ответом. Более того, никакой задачи не надо решать, а имеющийся ответ (решение), в нашем понимании числа, надо лишь обосновать.
Безусловно, математики, которым приписывается заслуга в этой работе, справились с этой задачей успешно. При этом почему-то считается, что они полностью придерживались законов логики. Но, как было показано выше, это не так. Категория число и подкатегории – виды чисел, совершенно не равноправны в смысле определения или понятия. В табл. 1 показана построенная категория чисел, используемая в настоящее время. Таблица эта составлена, в основном, по анализу результатов цитированной выше книги и приводиться впервые.
Проанализируем эту таблицу. Все виды чисел по их строению подразделены на три вида. Кватернионы и гиперкомплексные числа включены в одну графу по причине того, что они имеют одинаковую структуру. Представить ее реально или абстрактно довольно сложно, ибо представить себе объект, являющийся и скаляром и вектором, или их суммой также невозможно, как четырехмерное пространство.
Таблица структуры чисел. Таблица 1.
Да и в природе такую структуру не найти. Третья строка таблицы раскрывает несоответствие видов чисел их общему понятию. Оказывается, они могут быть упорядоченными и не упорядоченными. Нам это кажется вполне естественным. В будущем мы на это явление будем смотреть критически. Числа должны иметь одну и ту же структуру. Независимо от вида. Либо скаляры, либо векторы.
Геометрическая интерпретация у каждого вида - своя. Она могла бы разниться размерностью пространства. Это по логике. С геометрической интерпретацией действительных и комплексных чисел мы знакомы. Представить же геометрический образ кватерниона невозможно. Почему кватернион считается четырехмерным числом и не может переходить в трехмерное число? А вот превращаться в действительное или комплексное число он может.
Комплексные числа интерпретируются векторами. Значит векторы – числа? Или существует категория “векторы”? И существуют подкатегории векторов? Каким образом комплексные числа (векторы) могут превращаться в действительные (скаляры)?
Наконец, где трехмерные числа? Их нет? Промах? Или естественная дырка? Сомнительно. Мы, существующие в реальном трехмерном пространстве, не имеем трехмерного числа! С абстрактной точки зрения можно предположить существование непрерывно-мерных чисел. А тут разрыв даже у цело-мерных. Но не надо беспокоиться. Под числа с такой структурой, подведено мощное математическое обоснование. Поднимаемый вопрос нигде не рассмотрен? С анализом и сравнением – нет.
Если остановиться на конкретных видах чисел, то и здесь есть вопросы, на которые мы не найдем ответа в учебниках. Так ни в БСЭ, изданной в 1978 году, ни в любой другой математической литературе нет ответа на простой вопрос: что понимается, когда говорят “натуральные, действительные или комплексные числа” - 1) скаляры; или, 2) векторы? Очевидно, математики считают, что, присвоив натуральному числу порядковое и количественное свойства, этот вопрос можно не рассматривать.
По первому и третьему законам мышления, здесь, можно выбрать только один ответ. Допустим, что выбран ответ 1), тогда, если N – множество натуральных, R -действительных, а C – комплексных чисел, то в записи
верна лишь первая часть соотношения, так как C – это множество векторов. Знак включения не является операцией преобразования скаляров в векторы. Если же выбран ответ 2), тогда эта запись имеет место, при условии, что множества N и R не упорядочены, ибо знак включения, на этот раз, не обладает способностью разупорядочения. Следовательно, упорядочить мы могли только значения векторов из R. Итак, на лицо противоречие и мы должны вспомнить второй закон мышления. Из него следует, что принятое построение числа, мешает познать истину, хотя мы с успехом им пользуемся. Пользуемся без познания истины.
Ни в одном из учебников математики этот вопрос не рассматривается. Считается, что здесь все продумано, так как противоречия не будет, если на помощь призвать либо аналогию, либо соответствие, либо поле или кольцо операций. Тогда знаки принадлежности можно убрать и, между видами чисел, установить законы соответствия. Так, например, это сделано между количественным и порядковым свойствами чисел [8]. Да, это выход.
Еще один выход – это толкование принципа перманентности так, как нам это необходимо. В результате такого толкования мы можем приравнять скаляры векторам: “Определение 5. Комплексное число вида
считается равным действительному числу
.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что в тех случаях, когда пары по определению 5 оказываются равными действительным числам, определения 1 – 4 приводят к результатам согласным с прежде установленными определениями для действительных чисел”, [8, 359]. Вместо слова определение здесь можно использовать слово постановление.
Многие математики так и объясняют ситуацию с указанным противоречием, считая, что его нет. Только, в этом случае, нельзя говорить о расширении понятия числа, а каждый раз вводить новые числа, из которых, в частном случае, мы не получим прежние. Действительно, в обеих частях соотношения
где x , y -действительные числа,
, стоят величины, геометрически изображаемые вектором. Положив здесь y=0, мы не получим из него действительное число
поскольку соотношение (2) не теряет векторного свойства при любых значениях x и y. При, не равных нулю действительной и мнимой частей, число (2) изображается вектором, лежащим в комплексной плоскости, а число (3) – вектором, лежащим на действительной оси. Соотношения (3) и (2) оба являются комплексными числами. Как же нам отличать действительные числа от комплексных чисел, у которых отсутствует мнимая часть? Ведь действительные числа принято изображать точками или отрезками, лежащими на числовой оси. Когда действительная или мнимая части соотношения (2) обращаются в нуль, переходя в соотношение (3), либо в соотношение
.
Даже при x=0 и y=0, комплексное число w должно изображаться вектором с неопределенным направлением и отличаться от действительного числа 0, изображаемого точкой или отрезком длины нуль. Таким образом, действительное число 5 (скаляр) не равно комплексному числу 5 (вектору).
Встает вопрос о правомочности арифметических операций между действительными и комплексными числами. Действительно, сложение и вычитание, умножение и деление между комплексными и действительными числами, сводящиеся к сложению и вычитанию вектора и точки или отрезка, или же к умножению или делению между ними, подлежат определению и обоснованию. Пока же эти и другие операции можно считать неопределенными. Налицо нарушение принципа перманентности Ганкеля. Мы никогда из комплексных чисел не получим действительных. Также можно показать, что из кватернионов [8], ни при каких частных случаях, нельзя получить комплексных чисел, ибо он есть сумма скаляра и вектора и, при любых значениях его компонентов, он не будет терять своего смысла. Разумеется, все эти операции определены и выполняются. Вопросы, поднятые выше, обходятся, при этом, молчанием. Может быть, так и надо. Из вышеизложенного следует, что мы пользуемся противоречивой теорией не только в смысле теоремы Гёделя, но и в силу своих собственных ошибок или недоработок. Конечно, если не обращать внимания на геометрическую интерпретацию действительных и комплексных чисел, то не будет никакого нарушения принципа перманентности – все его условия будут выполняться. Действительно, в этом случае, при y=0, векторное соотношение (2) для комплексных чисел, переходит в скалярное соотношение (3) для действительных чисел. Но в этом случае числа x и y не будут равноправны, ибо при x=0 то же соотношение (2) будет переходить, теперь уже, в векторное соотношение (4).
Есть один лишь выход из возникшего положения. Он заключается в очень простом и правильном решении – считать действительные числа векторами, т. е. интерпретировать их не точками или отрезками действительной оси, а векторами, лежащими на действительной оси. В этом случае исчезнут все вышеуказанные противоречия и те, о которых речь еще не шла.
Еще сложнее положение мы обнаружим при переходе от комплексных чисел к кватернионам. Ведь кватернион определяется как оператор, состоящий из суммы скалярной и векторных частей, “осуществляющий поворот векторов, перпендикулярных к его оси, на определенный угол в плоскости, перпендикулярной к этой оси, при одновременном растяжении этих векторов в определенном отношении”, [8, 367]. Взяв обычный трехмерный вектор и прибавив к нему скаляр, мы получим вид этого оператора. Только в этом случае единичные векторы i, j и k будут, одновременно, выполнять и роль мнимых единиц. Операция сложения вектора и скаляра – не имеет смысла в векторном анализе. Также невозможно представить себе объект в реальном мире, который бы обладал свойством вектора, а некоторая его часть была бы скаляром. Это что-то из мира фантастики.
Очевидно, что из соотношения
ни при каких значениях действительных чисел x, y, z и t мы не получим ни комплексного числа, ни действительного числа, ни обыкновенного вектора. Действительно, если K – множество кватернионов, то C е может содержаться в K, поскольку в этих множествах разные объекты. Ни комплексное число (2), ни любая его части (3) или (4) не обладают свойством векторного умножения, что имеет место у кватерниона. Если бы это было не так, то операция умножения двух комплексных чисел, выводила бы нас из комплексной плоскости, и не имела бы место коммутативность.
Не обладает комплексное число и свойством скалярного умножения, поскольку два комплексных числа умножаются по правилу многочлена. Кватернион, т. о., никак не может быть объектом расширения понятия числа. Следует иметь в виду, что при z=t=0, хотя выражение (5) и примет вид комплексного числа (2), тем не менее, оно не будет комплексным числом. Оно будет состоять из суммы скаляра x и вектора y. В этом частном случае должен быть выработан механизм отличия комплексных чисел от кватернионов. Здесь мы наблюдаем полное нарушение принципа перманентности Ганкеля.
Очевидно, нет никакого смысла рассматривать гиперкомплексные числа, являющихся, согласно Арнольда обобщением кватернионов, поскольку при специальном выборе чисел – коэффициентов от которых “ зависит тот или иной закон умножения … мы придем … к алгебре обыкновенных комплексных чисел”. Можно, также, подобрать эти числа “для числовой системы кватернионов”, [8, 388]. Дальнейшее обобщение понятия числа было остановлено теоремой Фробениуса: “невозможно построить при n>2 линейную, ассоциативную и коммутативную алгебру гиперкомплексных чисел так, чтобы операция деления на число, отличное от нуля, была всегда однозначна и выполнима”, [8, 394].
Таким образом, математикам и всему человечеству, (народ слушает математиков), оставили возможность работать или считать только с помощью действительных чисел (n=1), комплексных чисел (n=2) и кватернионов n=4), с дыркой (n=3). Докатились. Человечество, живущее в трехмерном пространстве, не имеет трехмерного числа! За созданный тупик в обобщении числа, Фробениус вошел в число знаменитых математиков. Мы видели, что кватернионы не являются обобщением комплексных чисел. Это объекты совершенно иной природы. Поскольку, указанную теорему, Фробениус доказал на основе свойств кватерниона, то переносить ее результаты на числа, вообще говоря, мы не имеем никакого права.
§7. Основная логическая ошибка в понятии числа.
Имеется в виду общее определение числа, независимо от его вида. Возможно ли это? Известно, что число – понятие первичное и определению не подлежит. Виды же самих чисел определяются через понятие числа. Основой определения всех видов чисел, является определение натурального числа. Никакого общего определения числа не существует. Но, после того как мы, в конце предыдущего параграфа пришли к выводу, что при принятии векторной интерпретации действительного числа, устраняются все противоречия при расширении его в комплексную область, снимается и вопрос о невозможности его однозначного определения.
Чтобы дать определение числа воспользуемся формулировками “все есть число” или “вещи суть числа”, данные соответственно Филолаем и Пифагором и, являющиеся, равноценными. Пусть меня начнут обвинять в мистицизме 21 века. Из этого определения следует, что число не является математическим объектом, владельцами которого являются математики. Математики должны
причем векторы x, y и z не коллинеарные, тогда существует треугольник со сторонами 
для векторов. Мы ведь векторов знаем только как модулей над кольцом, где определены операции сложения (по нему абелева группа) и умножение на элементы кольца. Где имеется умножение они называются уже алгебрами. Алгебры с нетривиальными умножениями не могут иметь произвольную размерность.
, который численно равен
, где 
простое число,
, где 
- составное число.
.
, положение которых, как раз-то, и не является особой тайной. 
, где элементами множеств являются векторы.Структура моделей чисел будет не противоречивой (см. табл. 2 и сравните с табл. 1). Принцип перманентности Ганкеля будет полностью соблюдаться.