Энергетическая норма

[Leardjiny]

Есть ограниченный оператор А. Нужно доказать, что энергетическая норма (пускай элемента х), введенная по этому оператору, равна норме самого оператора.

Я знаю, что энергетическая норма больше или равна нуля, и знаю, что норма оператора должна быть меньше какого-то С домноженного на норму элемента х. Но как все это свести к тому что норма оператора и энергетическая норма равны - я не могу понять. Подскажите пожалуйста.

[Leardjiny]

Возможно или я неправильно прочитал задание или в книге опечатка. Помогите пожалуйста понять чему равна энергетическая норм ограниченного оператора.
А это я не могу найти никакой связи между энергетической нормой и нормой оператора.
Буду благодарен если не за доказательство, то хотя бы за книгу, в которой можно об этом почитать.

[Nemiroff]

А что такое энергетическая норма?

[Leardjiny]

Nemiroff в сообщении #591999 писал(а):

А что такое энергетическая норма?

Есть оператор A.
$||x||_A=[(Ax,x)]^{1/2} $ - энергетическая норма
В Данном случае оператор A ограничен.

-- 04.07.2012, 14:49 --

Есть вероятность, что из за плохого качества книги я мог не различить буквы A и H. И если это так, то энергетическая норма равна норме пространства H.(если не ошибаюсь - это пространство Соболева).
Возможно это может помочь как то. Только даже если так- доказательства я ни найти ни придумать не могу.

[Nemiroff]

Leardjiny в сообщении #592002 писал(а):

Есть оператор A.
$||x||_A=[(Ax,x)]^{1/2} $ - энергетическая норма

Не понял. Энергетическая норма определена для элемента, а норма оператора - для оператора. Как их сравнивать?

[ewert]

Leardjiny в сообщении #591844 писал(а):

Нужно доказать, что энергетическая норма (пускай элемента х), введенная по этому оператору, равна норме самого оператора.

Это доказать невозможно: что бы ни понималось под энергетической нормой -- норма наугад выбранного вектора и норма оператора никак не связаны.

Leardjiny в сообщении #592002 писал(а):

$||x||_A=[(Ax,x)]^{1/2} $ - энергетическая норма
В Данном случае оператор A ограничен.

Этого недостаточно -- нужно ещё, чтобы оператор был строго положителен (и, в частности, эрмитов).

[Leardjiny]

ewert в сообщении #592007 писал(а):

Leardjiny в сообщении #591844 писал(а):

Нужно доказать, что энергетическая норма (пускай элемента х), введенная по этому оператору, равна норме самого оператора.

Это доказать невозможно: что бы ни понималось под энергетической нормой -- норма наугад выбранного вектора и норма оператора никак не связаны.

Leardjiny в сообщении #592002 писал(а):

$||x||_A=[(Ax,x)]^{1/2} $ - энергетическая норма
В Данном случае оператор A ограничен.

Этого недостаточно -- нужно ещё, чтобы оператор был строго положителен (и, в частности, эрмитов).

Значит все же энергетическая норма равна не норме оператора, а норме Соболева пространства, в случае если оператор ограничен. Тем более, что там если не ошибаюсь норма тоже для элемента определяется.
Да, Вы правы оператор положительно определен и симметричен.

[svv]

А по какой книге Вы занимаетесь? Интересно взглянуть.

[Leardjiny]

svv в сообщении #592017 писал(а):

А по какой книге Вы занимаетесь? Интересно взглянуть.

Вообще это задача из 22.24 из учебника Треногина. В некоторых изданиях этой задачи нету, поэтому мне пришлось ориентироваться на ее фото, которое мне прислали. А изучать пытаюсь при помощи интернета и других книг.

[ewert]

Leardjiny в сообщении #592013 писал(а):

Значит все же энергетическая норма равна не норме оператора, а норме Соболева пространства, в случае если оператор ограничен

Туман всё сгущается.

Да, соболевская норма элемента является энергетической нормой, порождённой некоторым оператором, но не абы каким, а вполне конкретным. И этот оператор неограничен.

[Leardjiny]

ewert в сообщении #592025 писал(а):

Leardjiny в сообщении #592013 писал(а):

Значит все же энергетическая норма равна не норме оператора, а норме Соболева пространства, в случае если оператор ограничен

Туман всё сгущается.

Да, соболевская норма элемента является энергетической нормой, порождённой некоторым оператором, но не абы каким, а вполне конкретным. И этот оператор неограничен.

А можно где нибудь почитать доказательство хотя бы этого утверждения?
Возможно тогда как нибудь смогу что-нибудь для ограниченного оператора придумать

[ewert]

Leardjiny в сообщении #592027 писал(а):

А можно где нибудь почитать доказательство хотя бы этого утверждения?

Какого, собственно, утверждения?... Вы же пока что так ничего толком и не сформулировали. А тех слов, что были в стартовом посте, Треногин произнести никак не мог, даже на фотографии.

[svv]

Вот как там написано:

22.24. Для положительно определенного оператора $A$ и $x\in D(A)$ энергетическая норма вводится равенством

$$\|x\|_A =\sqrt{(x, x)_A}=\sqrt{(Ax, x)}.$$

Доказать, что если $A$ — ограниченный оператор, то энергетическая норма эквивалентна норме $H$.

P.S. Возможно, Вас ещё сбили с толку слова, что энергетическая норма вводится "для положительно определенного оператора $A$", и Вы подумали, что это определение нормы оператора. Но, понятно, в определении нормы оператора не может быть вектора $x$ в качестве свободной переменной.

[Leardjiny]

ewert в сообщении #592033 писал(а):

Какого, собственно, утверждения?... Вы же пока что так ничего толком и не сформулировали. А тех слов, что были в стартовом посте, Треногин произнести никак не мог, даже на фотографии.

Доказательство утверждения что при ограниченном операторе A энергетическая норма равна норме Соболева.
Условие задачи из Треногина привел выше svv. (кстати спасибо за это - теперь задание хоть точно известно, а то в моем заканчивается на 22.19)

-- 04.07.2012, 15:44 --

svv в сообщении #592034 писал(а):

Вот как там написано:

P.S. Возможно, Вас ещё сбили с толку слова, что энергетическая норма вводится "для положительно определенного оператора $A$", и Вы подумали, что это определение нормы оператора. Но, понятно, в определении нормы оператора не может быть вектора $x$ в качестве свободной переменной.

Да, возможно, но изначально меня сильно сбило то, что я думал что нужно доказать эквивалентность норме оператора и я не мог никакой связи найти. Правда я все равно пока не знаю каким образом это можно доказать.

[ewert]

svv в сообщении #592034 писал(а):

Доказать, что если $A$ — ограниченный оператор, то энергетическая норма эквивалентна норме $H$.

Это, вообще говоря, неверно (и, кстати, при чём тут Соболев?...). Точнее, всё зависит от того, что понимается под положительной определённостью. Если это $(Ax,x)>0\ (\forall x\neq0)$, то неверно. А если $(Ax,x)\geqslant c(x,x)\ (\forall x),\ c>0$, то верно и доказывается банально:

$c\|x\|^2\leqslant\|x\|_A^2=(Ax,x)\leqslant\|A\|\cdot\|x\|^2.$