верно ли что множ-во - компакт, если любая ф-ция достигает m

[flower_fire]

В Полном Метрическом пространстве дано множество K,
известно что любая непрывная функция на К достигает
свое наибольшее значение,
Верно или нет что К-компакт???
Помогите разобраться!!

[Руст]

Должно быть верно. В конкретных не компактных пространствах типа единичного шара в бесконечномерном пространстве или в не замкнутых ограниченных множествах легко построить неограниченную непрерывную функцию.

[RIP]

Утверждение верно. Идея доказательства такая. Пусть $K$ не компактно. Тогда существует последовательность $\{x_n\}\subset K$, из которой нельзя выбрать сходящуюся в $K$ подпоследовательность. Можно считать, что все $x_n$ попарно различны. Выбрав достаточно малые радиусы $r_n\to0$, можно сделать так, что шары $B_n=\{x\in K\mid \rho(x,x_n)\leqslant r_n\}$ попарно не пересекаются. Можно проверить, что функция

$$f(x)=\begin{cases}n\left(1-\frac{\rho(x,x_n)}{r_n}\right),&x\in B_n;\\0,&x\in K\setminus\left(\bigcup_nB_n\right),\end{cases}$$

непрерывна на $K$.

На самом деле можно построить непрерывную на всём метрическом пространстве $M$ функцию, не принимающую на $K$ наибольшего значения. Если посл-ть $x_n$ не имеет предельных точек во всём метрическом пространстве, то подойдёт тот же самый пример (только $K$ в определении $B_n$ и $f(x)$ надо поменять на $M$). В противном случае пусть $x_{n_k}\to x_0\in M\setminus K$. Тогда подойдёт $f(x)=-\rho(x,x_0)$

P.S. Полнота метрического пространства здесь ни при чём.

[flower_fire]

Помогите пожайлуста ответить на вопрос!!
К-множество в полном метрическом пространстве,
любая функция f(x)- непрерывна и достигает максимум на K ,
Верно ли что К- компакт ?

нг:

flower_fire, замечание за дублирование темы. Темы слиты.

[worm2]

Чем эта задача отличается от Вашей же