2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 верно ли что множ-во - компакт, если любая ф-ция достигает m
Сообщение25.03.2007, 12:48 
В Полном Метрическом пространстве дано множество K,
известно что любая непрывная функция на К достигает
свое наибольшее значение,
Верно или нет что К-компакт???
Помогите разобраться!!

 
 
 
 
Сообщение25.03.2007, 13:54 
Должно быть верно. В конкретных не компактных пространствах типа единичного шара в бесконечномерном пространстве или в не замкнутых ограниченных множествах легко построить неограниченную непрерывную функцию.

 
 
 
 
Сообщение25.03.2007, 22:33 
Аватара пользователя
Утверждение верно. Идея доказательства такая. Пусть $K$ не компактно. Тогда существует последовательность $\{x_n\}\subset K$, из которой нельзя выбрать сходящуюся в $K$ подпоследовательность. Можно считать, что все $x_n$ попарно различны. Выбрав достаточно малые радиусы $r_n\to0$, можно сделать так, что шары $B_n=\{x\in K\mid \rho(x,x_n)\leqslant r_n\}$ попарно не пересекаются. Можно проверить, что функция
$$f(x)=\begin{cases}n\left(1-\frac{\rho(x,x_n)}{r_n}\right),&x\in B_n;\\0,&x\in K\setminus\left(\bigcup_nB_n\right),\end{cases}$$
непрерывна на $K$.

На самом деле можно построить непрерывную на всём метрическом пространстве $M$ функцию, не принимающую на $K$ наибольшего значения. Если посл-ть $x_n$ не имеет предельных точек во всём метрическом пространстве, то подойдёт тот же самый пример (только $K$ в определении $B_n$ и $f(x)$ надо поменять на $M$). В противном случае пусть $x_{n_k}\to x_0\in M\setminus K$. Тогда подойдёт $f(x)=-\rho(x,x_0)$

P.S. Полнота метрического пространства здесь ни при чём.

 
 
 
 функциональный анализ:компактность
Сообщение07.04.2007, 12:09 
Помогите пожайлуста ответить на вопрос!!
К-множество в полном метрическом пространстве,
любая функция f(x)- непрерывна и достигает максимум на K ,
Верно ли что К- компакт ?
 !  нг:
flower_fire, замечание за дублирование темы. Темы слиты.

 
 
 
 Re: функциональный анализ:компактность
Сообщение07.04.2007, 13:26 
Аватара пользователя
Чем эта задача отличается от Вашей же :?:

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group