Проверьте, плиз...

[vlad_light]

1. Написать уравнение касательной и нормали к $(x+y)e^{2x+y+z}=1$ в точке $(1,0,-2)$.
Решение: у функции $F(x,y,z)=(x+y)e^{2x+y+z}-1$ существуют все производные, поэтому используем формулку $F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+...=0$ -- и это будет уравнение касательной. Нормаль находим похожим образом. Всё верно?
2. Найти интеграл $\int\limits_{|z|=2}\frac{1-\cos z}{z^3}dz$, круг проходим против часовой.
Решение: имеем одну особую точку: $0$. Она будет простым полюсом и попадает в круг. Поэтому интеграл будет равен два пи "и" умножить на вычет в этой точке, верно? И зачем нам направление обхода дали?
3. Найти область значения и проверить на непрерывность $f(x)=\sum (\frac{x^2}{4}+\frac{1}{n})^n$.
Решение: ряд будет сходиться, если $\frac{x^2}{4}+\frac{1}{n}<1$ и расходиться в потивном случае, т.е. $D_f=(-2,2)$. Непрерывность докажем через теорему о непрерывности функц. рядов: функции $\frac{x^2}{4}+\frac{1}{n}$ непрерывны, сходятся к непрерывной в каждой точке, соотв. ряд сходится к непрерывной функции, верно?
4. $y'+ay=f(x), a>0, f\in CB(\mathbb R)$. Доказать $y\in B([0,+\infty))$.
Решение: найдём решение нашего уравнения

$$y(x)=e^{-ax}\int e^{ax}f(x)dx\leq e^{-ax}\int e^{ax}\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|dx=e^{-ax}\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|\frac{1}{a}e^{ax}=\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|\frac{1}{a}$$

Последнее ограничено, поскольку $f$ - ограничена. Верно? И разве не будет ограниченым решение на всей прямой?
5. Дан ЛНО $A$ в комплексном банаховом пространстве. Собств. числа $A - \frac{1}{n}, \forall n\geq 1$. Проверить на непрерывную обратимость.
Решение: $Ax=\frac{1}{n}x$, тогда пускай существует оператор $B: Bx=nx$. Тогда $B=A^{-1}$ и $\sigma _d(B)=\mathbb N$ - неограниченое множество в $\mathbb C$ , что противоречит спектру. Соответственно $A$ не имеет обратного, следовательно не является непрерывно обратимым. Верно?
6. На кругу случайно выбирают 3 точки. Какая вероятность, что эти треугольник из этих точек будет остроугольным.
Решение: у меня получилось, что треугольник имеет тупой угол, если все 3 точки лежат с одной стороны круга, разделённого диаметром. Вероятность, что туда попадут все 3 точки равна 1/8, тогда ответ будет 7/8. Верно? Еще в условии сказано, что радиус 1, это ведь тоже лишнее?

[svv]

vlad_light писал(а):

1. Написать уравнение касательной и нормали к $(x+y)e^{2x+y+z}=1$ в точке $(1,0,-2)$.
Решение: у функции $F(x,y,z)=(x+y)e^{2x+y+z}-1$ существуют все производные, поэтому используем формулку $F_x'(x_0,y_0,z_0)(x-x_0)+...=0$ -- и это будет уравнение касательной. Нормаль находим похожим образом. Всё верно?

Да, всё верно. Можно, чтобы не делать двойную работу, сначала найти нормаль:
$\mathbf n=\operatorname{grad}F=(F_x', F_y', F_z')$
Здесь всё вычисляется в точке $\mathbf r_0=(x_0, y_0, z_0)$.
А затем написать уравнение плоскости по известной её точке $\mathbf r_0$ и нормали $\mathbf n$:
$\mathbf n\cdot(\mathbf r-\mathbf r_0)=0$, или
$F_x'(x-x_0)+F_y'(y-y_0)+F_z'(z-z_0)=0$,
т.е. то, что у Вас.

vlad_light писал(а):

2. Найти интеграл $\int\limits_{|z|=2}\frac{1-\cos z}{z^3}dz$, круг проходим против часовой.
Решение: имеем одну особую точку: $0$. Она будет простым полюсом и попадает в круг. Поэтому интеграл будет равен два пи "и" умножить на вычет в этой точке, верно? И зачем нам направление обхода дали?

Тоже правильно. В круге $|z|=2$ одна особая точка $z=0$, и это простой полюс. Но как Вы об этом узнали? Надо сказать несколько слов о числителе. Если бы там, например, был синус, точка $z=0$ уже не была бы простым полюсом.

[vlad_light]

Спасибо!

Цитата:

Но как Вы об этом узнали?

Ну там производные взял, дробь сократил, получил один на зет. Если бы был синул -- была бы тоже 1 особая точка, но кратности 3, и ничего бы не поменялось, только вычет в этой точке считался бы по другой формуле, верно?
Что по поводу остальных?

[svv]

vlad_light писал(а):

4. $y'+ay=f(x), a>0, f\in CB(\mathbb R)$.
...
И разве не будет ограниченым решение на всей прямой?

Возьмем простой пример: $f(x)=1, a=1$, т.е. $y'+y=1$. Пусть для определенности ещё дано условие $y(0)=0$. Тогда решением будет $y(x)=1-e^{-x}$, и будет ли оно ограниченным на всей прямой -- сами видите...

-- Вт июл 03, 2012 20:39:28 --

vlad_light писал(а):

6. На кругу случайно выбирают 3 точки. Какая вероятность, что эти треугольник из этих точек будет остроугольным.
Решение: у меня получилось, что треугольник имеет тупой угол, если все 3 точки лежат с одной стороны круга, разделённого диаметром. Вероятность, что туда попадут все 3 точки равна 1/8, тогда ответ будет 7/8. Верно? Еще в условии сказано, что радиус 1, это ведь тоже лишнее?

Вот тут не очень. Конечно, если я разделил вертикальной линией окружность на левую и правую полуокружности, и жду, что все точки попадут именно на правую, спору нет, вероятность $1/8$. Но если все три точки попадут в левую полуокружность, треугольник будет тоже тупоугольный! Более того, если две точки будут справа, а одна слева, но при этом все три попадут в верхнюю половину окружности, то треугольник будет опять тупоугольный. И так далее.

[vlad_light]

Нашёл ошибку:

$$e^{-ax}\int e^{ax}\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|dx=e^{-ax}\max\limits _{x\in [0,+\infty)} |f(x)|\frac{1}{a}(e^{ax}+c)=\alpha +\beta e^{-ax}, \alpha ,\beta \in \mathbb R$$

Получается, решение будет ограниченым на $[t,+\infty), \forall t\in\mathbb R$.
А с т.в. помогите, пожалуйста, всегда туго было

[svv]

topic55606.html
Скажите, а что это за странный такой подбор задач? По разнообразию тем может сравниться с тестом на IQ.

[vlad_light]

Блин, там, наверное, сразу решение Пока не хочу смотреть, ещё немного подумаю...
Задачи для поступления на магистра...

(Оффтоп)

Согласен, не самые сложные

А про спектр правильно?

[svv]

Ещё http://dxdy.ru/post470437.html#p470437 (задача №211), но тоже сразу не смотрите.
А спектры не моя специализация.

[vlad_light]

Ок) Ещё одну задачку помогите плиз))
С.в. распределена по закону $P(\omega=e^{an})=e^{-bn},P(\omega=e^{-an})=1-e^{-bn}$. Найти а и б, при которых величина стремится к 0 по вероятности и почти всюду.

[svv]

Еле-еле дошло до меня, что это не одна случайная величина $\omega$ с кучей возможных значений $e^{a n}, n\in \mathbb Z$, а последовательность случайных величин $\omega_n$, каждая из которых принимает два значения: $e^{an}$ и $e^{-an}$. А Вы, кстати, это сразу правильно понимали?

[vlad_light]

а, да, простите=)) Конечно сразу, ведь одна величина не может стремится, стремится может только последовательность=)

[svv]

Попробуйте вот здесь разобраться в определениях 49 и 50 и вокруг них:
http://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node53.html#SECTION0001210

[vlad_light]

Я определения смотрел, мне в буковки тяжело вникнуть... Можете начать, а я продолжу?

[svv]

Для сходимости по вероятности к нулю нам надо, чтобы для любого $\varepsilon>0$
$\textsf P\{|\omega_n-0|<\varepsilon\}\to 1$ при $n\to\infty$.
Пусть $a>0$. Зафиксируем $\varepsilon>0$. Тогда при достаточно больших $n$ будет $|e^{-an}|<\varepsilon$, $|e^{an}|\geqslant\varepsilon$ (т.е. значение $e^{-an}$ попадает в $\varepsilon$-окрестность нуля, а значение $e^{an}$ нет). Для таких $n$
$\textsf P\{|\omega_n|<\varepsilon\}=\textsf P\{\omega_n=e^{-an}\}=1-e^{-bn}$.
Эта вероятность должна стремиться к единице. Так будет при $b>0$.

Но $a>0$ не единственный возможный случай. Рассмотрите другие.

[мат-ламер]

Насчёт пятой задачи. Рещение изложено непонятно. Я не понял, почему у оператора $A$ не может быть обратного? Но, по-любому, даже если обратный будет и существовать, то он будет неограниченным.