Углы между столбцами матрицы и число обусловленности

[Cubic]

Здравствуйте.

Имеется матрица $\textbf{A} \in \textbf{C}^{N \times N}$. Матрица невырожденная. Столбцы матрицы нормированы, но не ортогональны. Я вот пытаюсь понять как связаны углы между столбцами матрицы и её число обусловленности.

Углы между столбцами матрицы я определяю косвенно через величину $N-1$ ортогональных проекций отдельного столбца матрицы на $N-1$ пространств других столбцов.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[svv]

Cubic писал(а):

Я вот пытаюсь понять как связаны углы между столбцами матрицы и её число обусловленности.

Да, наверное, особо никак не связаны.

Пусть $B=A^T A$. Считаю, что для матриц используется спектральная норма. Число обусловленности
$\operatorname{cond}(A)=\sqrt{\dfrac{\lambda_{\max}(B)}{\lambda_{\min}(B)}}$

При этом матрица $B$ составлена как раз из скалярных произведений столбцов матрицы $A$. А раз Вы говорите, что столбцы нормированы, то скалярные произведения -- это косинусы углов. Элемент $b_{ik}$ -- это косинус угла между столбцами $i$ и $k$ матрицы $A$, понимаемыми как векторы.

То есть связь как бы и есть, но такая же, как между элементами матрицы и её собственными числами.

P.S. Я считал, что матрица $A$ вещественная.

[Cubic]

svv, спасибо за ответ.

У меня возникла следующая мысль:
1) минимальное сингулярное число матрицы показывает расстояние до вырожденной матрицы, т.е с уменьшением минимального сингулярного числа число обусловленности матрицы $\textbf{A}$ увеличивается.

2)допустим у матрицы $\textbf{A}$ есть два столбца, угол между которыми мал. Тогда получается, что такая матрица "почти" вырожденная и ее число обусловленности должно быть велико.

3) Можно предположить, что пункты 1) и 2) связаны , и для матрицы с большим число обусловленности найдется пара столбцов, угол между которыми будет мал.

Что думаете по этому поводу?

Цитата:

P.S. Я считал, что матрица вещественная.

У меня матрица комплексная, поэтому я углы оцениваю через длину ортогональной проекции.

[Евгений Машеров]

Это в одну сторону работает. Т.е. если есть столбцы, угол между которыми мал - то число обусловленности велико. Но если оно велико - угол может быть сколько угодно близок к ортогональности.
Пример: Пусть у матрицы (n-1) ортогональных столбцов, а n-й равен их сумме. Тогда с ростом n угол между последним и любым из первых стремится к 90 градусам, а число обусловленности бесконечность.

[Cubic]

Евгений Машеров
Спасибо.

Цитата:

Пусть у матрицы (n-1) ортогональных столбцов, а n-й равен их сумме.

Матрица $\textbf{A}$ не вырожденная по условию.

[Евгений Машеров]

Ну, введите небольшое возмущение. Чтобы не точная сумма, а приблизительно.

[svv]

Cubic

Cubic писал(а):

У меня матрица комплексная, поэтому я углы оцениваю через длину ортогональной проекции.

Хочу лучше понять, что это значит. Как я себе это представляю:

Возьмём из матрицы $A$ два вектора-столбца $\mathbf a_i$ и $\mathbf a_k$. Разложим вектор $\mathbf a_k$ на две составляющих — параллельную и перпендикулярную $\mathbf a_i$:
$\mathbf a_k=\lambda \mathbf a_i+\mathbf n$.
Из условия $(\mathbf a_i, \mathbf n)=0$ находим $\lambda=\dfrac{(\mathbf a_i, \mathbf a_k)}{(\mathbf a_i, \mathbf a_i)}=(\mathbf a_i, \mathbf a_k)$ (без сопряжения: у меня $(\mathbf p, \mathbf q)=\sum\bar p_j q_j$).

Ортогональной проекцией $\mathbf a_k$ на $\mathbf a_i$ будет $\lambda \mathbf a_i=(\mathbf a_i, \mathbf a_k) \mathbf a_i$. Значит, длина ортогональной проекции равна $|(\mathbf a_i, \mathbf a_k)|$.

В комплексном случае матрица $B=A^*A$, её элементы $b_{ik}=(\mathbf a_i, \mathbf a_k)$. Поэтому длина ортогональной проекции $k$-го столбца на $i$-й равна модулю элемента
$b_{ik}=\sum\limits_j \bar a_{ij} a_{jk}$.
У Вас тоже такой подход?

[Cubic]

svv

Я делаю так:
1) беру вектор-столбец $a_{i}$,
2) вычисляю матрицу ортогонального проектора на пространство $a_{i}$ как $P_{i} = a_{i}\times a_{i}^{H}$
3) определяю норму проекции остальных векторов на пространство вектора $a_{i}$ как $norm_{ik} =norm( P_{i} \cdot a_{k}) $. Если проекция равна 0 то угол между ними равен 90 градусов, если проекция равна 1, то угол равен 0 градусов. В моем конкретном приложении $0 < norm_{ik} <1$, для $k \ne i$.

[svv]

Так у Вас то же самое! Вот, смотрите.
$norm(P_i a_k)=norm(a_i a_i^H a_k)$
Теперь $a_i^H a_k$ -- это просто комплексное число, его можно вынести из-под нормы (беря от него модуль). Тогда под нормой остается $a_i$. Но так как у Вас столбцы нормированы, это равно $1$. В итоге получите то же, что и я: $\sum\limits_j \bar a_{ij} a_{jk}$.