Элементарная задача по арифметике

[Whitaker]

Здравствуйте, уважаемые друзья!
Подскажите пожалуйста как доказать следующее равенство:
$[(1+\sqrt{3})^{2n+1}]=(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}$

С уважением, Whitaker.

[Joker_vD]

А что стоит после квадратных скобок?

[Whitaker]

Не понял Ваш вопрос ??!!
После квадратных скобок стоит $(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}$

[miflin]

А что тогда означают квадратные скобки?
Если это обычные скобки, то левая часть взаимно уничтожается
с первым членом правой.

[Whitaker]

квадратные скобки - это целая часть числа

[Dave]

Нужно рассмотреть последовательность $(x_n)_{n=0}^{\infty}$, начинающуюся с $x_0=2$ и $x_1=2$ и связанную рекуррентным соотношением

$$x_n=2x_{n-1}+2x_{n-2}.$$

Все её члены - очевидно, целые числа. Докажите, что

$$x_n=(1+\sqrt 3)^n+(1-\sqrt 3)^n$$

при любом $n$.

[Whitaker]

Dave
ну это вроде понятно.
Составляем характеристическое уравнение ${\lambda}^n=2{\lambda}^{n-1}+2{\lambda}^{n-2}$ и после сокращения получаем ${\lambda}^2-2{\lambda}-2=0$
Решаем это квадратное уравнение и находим его корни
$\lambda_{1,2}=1\pm\sqrt{3}$
так как корни различны, то общий член выражается так:
$x_n=(1+\sqrt{3})^n+(1-\sqrt{3})^n$

[AlexValk]

Схема такая:
1. Правая часть $[(1+\sqrt{3})^{2n+1}]$ - целое число, которое "чуть меньше" (если быть точным - меньше на величину $\in [0;1)$ "дробного числа" $(1+\sqrt{3})^{2n+1}$.
2. Величина $(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}$ - тоже число которое "чуть меньше" числа $(1+\sqrt{3})^{2n+1}$. Тут важно, что $-1<1-\sqrt{3}<0$ и, что степень $2n+1$ - нечетна.
3. Остается показать, что число $(1+\sqrt{3})^{2n+1}+(1-\sqrt{3})^{2n+1}$ - целое. Это упраженение на бином Ньютона.

[Dave]

Whitaker в сообщении #591459 писал(а):

Dave
ну это вроде понятно...

А раз понятно, то единственное, что остаётся - заметить, что

$$(1+\sqrt 3)^n=x_n-(1-\sqrt 3)^n, \eqno(1)$$

где $x_n$ - целое, а $0<-(1-\sqrt 3)^n<1$ при нечётном $n$, т.е. $(1)$ - это представление числа $(1+\sqrt 3)^n$ в виде суммы целой и дробной частей.

[Whitaker]

Dave
Большое спасибо!
Очень красивое решение