Перемещающаяся цифра

[Shadow]

Из олимпиады 19.. не помню.
Найдите наименьшее натуральное число, у которого при умножении на 5 последняя цифра перемещается на первое место (в десятичной системе счисления)

Бонус задача:
то же самое, но при умножении на 6

[Ktina]

Shadow в сообщении #590751 писал(а):

Из олимпиады 19.. не помню.
Найдите наименьшее натуральное число, у которого при умножении на 5 последняя цифра перемещается на первое место (в десятичной системе счисления)

При такой формулировке, как у Вас, ответ будет 19

[Shadow]

$19\cdot 5=91$ Не получается Задачка более-менее серьезная. Кстати, из вашей специальности - арифмост (Лучше Арифмостат - древногреческое такое звучение)

[xmaister]

Shadow в сообщении #590758 писал(а):

$19\cdot 5=91$ Не получается

Почему? Последняя цифра переехала на первое место

[Edward_Tur]

$5 \cdot 142857=714285$
Для числа 6 нужно найти соответствующую дробь (для 5 это $\frac {1}{7}$)

(Оффтоп)

Для числа 6 - это период дроби $\frac {6}{59}$ - 58 цифр.

[Shadow]

Edward_Tur в сообщении #590768 писал(а):

$5 \cdot 142857=714285$

Ответ првильный. (парочку слов не помешало бы) Ну, ..осталась бонус-задача

[Shadow]

Edward_Tur извините, я только сейчас заметил оффтоп. Да, так и есть. Решениe первой задачи:
$(10A+b)\cdot 5=10^nb+A, 10^{n-1}<A<10^n$

$A=\dfrac{b(10^n-5)}{49}, b>4.9$
Тут варианты:
1. $b=7, 10^n \equiv 5 \pmod 7$
2. $b=5, 10^n \equiv 5 \pmod {49}$
Первый, конечно, лучше. Требуемый остсток получается в самом конце, откуда и получается период $\frac 1 7$
Вторая аналогично, задал только чтобы исключить тупой компютерный перебор. Там по модулю 59 и требуемый остсток опять появляется в самом конце, откуда решение- полный период $\frac 6 {59}$ При умножении на 6 получается самый большой результат.

$1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966$