2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Перемещающаяся цифра
Сообщение30.06.2012, 20:22 


26/08/11
1886
Из олимпиады 19.. не помню.
Найдите наименьшее натуральное число, у которого при умножении на 5 последняя цифра перемещается на первое место (в десятичной системе счисления)

Бонус задача:
то же самое, но при умножении на 6

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемещающаяся цифра
Сообщение30.06.2012, 20:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Shadow в сообщении #590751 писал(а):
Из олимпиады 19.. не помню.
Найдите наименьшее натуральное число, у которого при умножении на 5 последняя цифра перемещается на первое место (в десятичной системе счисления)

При такой формулировке, как у Вас, ответ будет 19 :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемещающаяся цифра
Сообщение30.06.2012, 20:42 


26/08/11
1886
$19\cdot 5=91$ Не получается :wink: Задачка более-менее серьезная. Кстати, из вашей специальности - арифмост :shock: (Лучше Арифмостат - древногреческое такое звучение)

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемещающаяся цифра
Сообщение30.06.2012, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/08/11
1613
Новосибирск
Shadow в сообщении #590758 писал(а):
$19\cdot 5=91$ Не получается

Почему? Последняя цифра переехала на первое место :?

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемещающаяся цифра
Сообщение30.06.2012, 21:00 
Заслуженный участник


03/12/07
337
$5 \cdot 142857=714285$
Для числа 6 нужно найти соответствующую дробь (для 5 это $\frac {1}{7}$)

(Оффтоп)

Для числа 6 - это период дроби $\frac {6}{59}$ - 58 цифр.

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемещающаяся цифра
Сообщение30.06.2012, 21:03 


26/08/11
1886
Edward_Tur в сообщении #590768 писал(а):
$5 \cdot 142857=714285$
Ответ првильный. (парочку слов не помешало бы) Ну, ..осталась бонус-задача

 Профиль  
                  
 
 Re: Перемещающаяся цифра
Сообщение01.07.2012, 19:38 


26/08/11
1886
Edward_Tur извините, я только сейчас заметил оффтоп. Да, так и есть. Решениe первой задачи:
$(10A+b)\cdot 5=10^nb+A, 10^{n-1}<A<10^n$

$A=\dfrac{b(10^n-5)}{49}, b>4.9$
Тут варианты:
1. $b=7, 10^n \equiv 5 \pmod 7$
2. $b=5, 10^n \equiv 5 \pmod {49}$
Первый, конечно, лучше. Требуемый остсток получается в самом конце, откуда и получается период $\frac 1 7$
Вторая аналогично, задал только чтобы исключить тупой компютерный перебор. Там по модулю 59 и требуемый остсток опять появляется в самом конце, откуда решение- полный период $\frac 6 {59}$ При умножении на 6 получается самый большой результат.

$1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group