Квадрат или не квадрат?

[Ktina]

Пусть $n$ - натуральное число и пусть $m=6n-1$.
Может ли

$$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots +m(m+1)$$

быть квадратом целого числа?

[nnosipov]

Не может.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #590371 писал(а):

Не может.

(Оффтоп)

Мне уже решение писать? Или дадим другим подумать?

[nnosipov]

(Оффтоп)

Дадим подумать. Есть же школьники, которые интересуются такими задачами.

[scwec]

(Оффтоп)

Ответ следует, например, из того, что ранг кривой $y^2=x^3+9x^2+18x$ равен нулю.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #590369 писал(а):

Пусть $n$ - натуральное число и пусть $m=6n-1$.

Лучше так: $m \neq 6n$ и $m \neq 6n+4$.

[scwec]

Только сейчас увидел, что в задаче еще и условие есть. А зачем оно?
Чтобы жизнь сделать совсем простой?

[nnosipov]

scwec в сообщении #590589 писал(а):

Чтобы жизнь сделать совсем простой?

Это же для школьников задача. Элементарного доказательства Вашего утверждения про ранг скорее всего нет.

Пардон, оно есть. Это же доказательство неконгруэнтности числа $3$. Сам когда-то написал про это популярную статью

[scwec]

Я ведь специально не стал писать слово неконгруэнтный. Хотя с самого начала видел, что речь идет о неконгруэнтности тройки.

[Tanechka]

Ну если по-школьному, то нетрудно заметить, что

$$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots +m(m+1) = \frac{m(m+1)(m+2)}{3}$$

Подставляем то условие, получаем, что $2n(36n^2-1)$ должно быть квадратом. Такого быть не может, т. к. две части взаимно просты, следовательно каждая из них квадрат. Судя по правой скобке этого быть не может...

[nnosipov]

scwec в сообщении #590603 писал(а):

Хотя с самого начала видел, что речь идет о неконгруэнтности тройки.

Может, кто-нибудь из школьников сочинит доказательство? Требуется доказать, что не существует рационального прямоугольного треугольника, площадь которого равна $3$. Эквивалентная формулировка: уравнение $3y^2=x^3-x$ имеет в рациональных числах только тривиальные решения (т.е. для которых $y=0$).

[Tanechka]

nnosipov в сообщении #590732 писал(а):

уравнение $3y^2=x^3-x$ имеет в рациональных числах только тривиальные решения (т.е. для которых $y=0$).

В рациональных?

[nnosipov]

Tanechka в сообщении #590806 писал(а):

В рациональных?

Да, в рациональных. Это шире, чем требуется в первоначальной формулировке задачи, но это тоже элементарно.

[Tanechka]

Но тогда выражай y через x и подставляй всё что больше единицы... может всё-таки в целых надо?

[nnosipov]

Tanechka, в рациональных --- это значит оба числа $x$ и $y=\sqrt{(x^3-x)/3}$ должны оказаться рациональными. А это случится только тогда, когда $x=0,\pm 1$ (такое вот чудо). Но как это доказать?

-- Вс июл 01, 2012 17:31:38 --

Tanechka в сообщении #590961 писал(а):

Но тогда выражай y через x и подставляй всё что больше единицы..

Уж не путаете ли Вы рациональные числа с вещественными?