2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Квадрат или не квадрат?
Сообщение29.06.2012, 16:44 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Пусть $n$ - натуральное число и пусть $m=6n-1$.
Может ли $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots +m(m+1)$$
быть квадратом целого числа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение29.06.2012, 16:57 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение29.06.2012, 17:00 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #590371 писал(а):
Не может.

(Оффтоп)

Мне уже решение писать? Или дадим другим подумать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение29.06.2012, 17:04 
Заслуженный участник


20/12/10
9179

(Оффтоп)

Дадим подумать. Есть же школьники, которые интересуются такими задачами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение29.06.2012, 17:35 
Заслуженный участник


17/09/10
2158

(Оффтоп)

Ответ следует, например, из того, что ранг кривой $y^2=x^3+9x^2+18x$ равен нулю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 09:51 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Ktina в сообщении #590369 писал(а):
Пусть $n$ - натуральное число и пусть $m=6n-1$.
Лучше так: $m \neq 6n$ и $m \neq 6n+4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 11:05 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Только сейчас увидел, что в задаче еще и условие есть. А зачем оно?
Чтобы жизнь сделать совсем простой?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 11:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
scwec в сообщении #590589 писал(а):
Чтобы жизнь сделать совсем простой?
Это же для школьников задача. Элементарного доказательства Вашего утверждения про ранг скорее всего нет.

Пардон, оно есть. Это же доказательство неконгруэнтности числа $3$. Сам когда-то написал про это популярную статью :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 11:43 
Заслуженный участник


17/09/10
2158
Я ведь специально не стал писать слово неконгруэнтный. Хотя с самого начала видел, что речь идет о неконгруэнтности тройки.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 12:36 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
Ну если по-школьному, то нетрудно заметить, что $$1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 4+\dots +m(m+1) = \frac{m(m+1)(m+2)}{3}$$ Подставляем то условие, получаем, что $2n(36n^2-1)$ должно быть квадратом. Такого быть не может, т. к. две части взаимно просты, следовательно каждая из них квадрат. Судя по правой скобке этого быть не может...

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 18:50 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
scwec в сообщении #590603 писал(а):
Хотя с самого начала видел, что речь идет о неконгруэнтности тройки.
Может, кто-нибудь из школьников сочинит доказательство? Требуется доказать, что не существует рационального прямоугольного треугольника, площадь которого равна $3$. Эквивалентная формулировка: уравнение $3y^2=x^3-x$ имеет в рациональных числах только тривиальные решения (т.е. для которых $y=0$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение30.06.2012, 22:40 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
nnosipov в сообщении #590732 писал(а):
уравнение $3y^2=x^3-x$ имеет в рациональных числах только тривиальные решения (т.е. для которых $y=0$).

В рациональных?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение01.07.2012, 09:29 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Tanechka в сообщении #590806 писал(а):
В рациональных?
Да, в рациональных. Это шире, чем требуется в первоначальной формулировке задачи, но это тоже элементарно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение01.07.2012, 13:01 


26/05/12
108
Минск, Беларусь
Но тогда выражай y через x и подставляй всё что больше единицы... может всё-таки в целых надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Квадрат или не квадрат?
Сообщение01.07.2012, 13:07 
Заслуженный участник


20/12/10
9179
Tanechka, в рациональных --- это значит оба числа $x$ и $y=\sqrt{(x^3-x)/3}$ должны оказаться рациональными. А это случится только тогда, когда $x=0,\pm 1$ (такое вот чудо). Но как это доказать?

-- Вс июл 01, 2012 17:31:38 --

Tanechka в сообщении #590961 писал(а):
Но тогда выражай y через x и подставляй всё что больше единицы..
Уж не путаете ли Вы рациональные числа с вещественными?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group