Среди многочисленных форм представлений пространства событий, возникших вокруг и благодаря ОТО, имеется и т.н.
метод хронометрических инвариантов Абрама Леонидовиче Зельманова. По сути, метод этот представляет собой
-расщепление исходного метрического
-многообразия. Руководящей идеей такого расщепления является фиксация некоторого набора непересекающихся времениподобных мировых линий, проходящих через каждую точку исходного многообразия строго по одному разу. Далее производится действие понять и принято которое проще всего в каких-то (а лучше в сопутствующих) координатах, ибо от читателя требуется ни много ни мало, а вообразить, что
вся одна такая мировая линия соответствует всего лишь
точке некоего трехмерного подпространства, тоже метрического (но в общем случае не являющегося гиперповерхностью). Введем в исходном многообразии координаты
, в которых каждая из вышеупомянутых мировых линий дается уравнениями
. Выделим из всех вообще возможных замен координат (с ненулевым якобианом) те, которые сохраняют вид наших уравнений времениподобных линий. Таковыми, очевидно, являются либо перемаркировки:
(мы просто тасуем имеющиеся в нашем распоряжении линии, присваивая им другие маркеры) или т.н.
хронометрические преобразования:
(я бы сравнил их с несколько обобщенным переводом стрелок, переопределением некоторой временной характеричтики вдоль каждой из мировых линий). Представим теперь, что по каждой из зафиксированных мировых линий движутся пробники-наблюдатели. Они не возмущают своим присутствием исходной
-метрики, но тщательно исполняют свои обязанности наблюдать собственное время и приход, предположим, светового сигнала с какого-то вполне определенного направления (это тонкий момент, поэтому я не буду на нем останавливаться). Далее утверждается следующее: каждая совокупность наблюдателей-пробников является
телом отсчета, определяющим одну из возможных
систем отсчета. Координатно
система отсчета определена с точностью до произвольного
хронометрического преобразования. Таким образом, на множестве всех возможных замен координат вводится отношение эквивалентности и можно говорить о: а) принадлежности каждого конкретного преобразования некоторой определенной системе отсчета и б) величины, инвариантные относительно хронометрических преобразования, характеризуют систему отсчета непосредственно саму по себе. Последние величины называются
хронометрическими инвариантами или сокращенно
хивариантами. Если помимо хивариантности величина подчиняется
-тензорному закону преобразования, то я буду называть ее хитензором. Таких хитензоров (и даже просто хивариантов) оказывается весьма немного, что позволяет навести очень такой неплохой порядок среди всех мыслимых
-проекций
-тензоров, которых без понятия хивариантности была бы тьма тьмущая.
Однако, я увлекся высокою теориею, а между тем пора бы и к сути дела. Ниже я кратко и без доказательств изложу технику расщепления, после чего перейду непосредственно к результату, анонсированному в заглавии темы.
Пусть нам дана некоторая метрика
составим величины
(черта сверху означает хитензорность соответствующей величины)
Каждая из выписанных величин имеет свой не побоюсь этого слова
физический смысл, извлекаемый из записанных через них уравнений геодезической. А именно (сверху вниз): некоторые не фиксированные С.О. потенциалы,
-метрика,
-ускорение инерции,
-угловая скорость и нечто вроде тензора деформаций, происходящих от нестационарности.
Теперь, наконец, к делу. Введем в плоском п.-в. криволинейные координаты
в которых метрика имеет вид
Как видно, пробники кружатся по окружностям и имеется в наличии ось, так что часть атрибутов "равномерного вращения" наличествует. В качестве последнего решительного условия я использую тот факт, что нерелятивистское равномерное вращение обладает повсюду
внутре тела постоянной угловой скоростью. Как сие обобщить на СТО? Так вот ведь он - хивариант по имени...
Его и запостояним!
Итак,
, откуда следует:
1) При
, имеем
, что не есть гут. С негодованием отбрасываем это маргинальное решение и удовлетворяемся скромным
.
2) При
, получим сперва следующий
анзац:
а потом и единственное несингулярное на оси решение:
со следующими асимптотиками