Релятивистское обобщение равномерно вращающегося тела.

[Утундрий]

Среди многочисленных форм представлений пространства событий, возникших вокруг и благодаря ОТО, имеется и т.н. метод хронометрических инвариантов Абрама Леонидовиче Зельманова. По сути, метод этот представляет собой $3+1$-расщепление исходного метрического $4$-многообразия. Руководящей идеей такого расщепления является фиксация некоторого набора непересекающихся времениподобных мировых линий, проходящих через каждую точку исходного многообразия строго по одному разу. Далее производится действие понять и принято которое проще всего в каких-то (а лучше в сопутствующих) координатах, ибо от читателя требуется ни много ни мало, а вообразить, что вся одна такая мировая линия соответствует всего лишь точке некоего трехмерного подпространства, тоже метрического (но в общем случае не являющегося гиперповерхностью). Введем в исходном многообразии координаты $\left\{ {x^0 ,x^i } \right\}$, в которых каждая из вышеупомянутых мировых линий дается уравнениями $x^i = \operatorname{const}$. Выделим из всех вообще возможных замен координат (с ненулевым якобианом) те, которые сохраняют вид наших уравнений времениподобных линий. Таковыми, очевидно, являются либо перемаркировки: $x^{\tilde i} = x^{\tilde i} \left( {x^i } \right)$ (мы просто тасуем имеющиеся в нашем распоряжении линии, присваивая им другие маркеры) или т.н.хронометрические преобразования: $x^{\tilde i} = x^i ,x^{\tilde 0} = f\left( {x^0 ,x^i } \right)$ (я бы сравнил их с несколько обобщенным переводом стрелок, переопределением некоторой временной характеричтики вдоль каждой из мировых линий). Представим теперь, что по каждой из зафиксированных мировых линий движутся пробники-наблюдатели. Они не возмущают своим присутствием исходной $4$-метрики, но тщательно исполняют свои обязанности наблюдать собственное время и приход, предположим, светового сигнала с какого-то вполне определенного направления (это тонкий момент, поэтому я не буду на нем останавливаться). Далее утверждается следующее: каждая совокупность наблюдателей-пробников является телом отсчета, определяющим одну из возможных систем отсчета. Координатно система отсчета определена с точностью до произвольного хронометрического преобразования. Таким образом, на множестве всех возможных замен координат вводится отношение эквивалентности и можно говорить о: а) принадлежности каждого конкретного преобразования некоторой определенной системе отсчета и б) величины, инвариантные относительно хронометрических преобразования, характеризуют систему отсчета непосредственно саму по себе. Последние величины называются хронометрическими инвариантами или сокращенно хивариантами. Если помимо хивариантности величина подчиняется $3$-тензорному закону преобразования, то я буду называть ее хитензором. Таких хитензоров (и даже просто хивариантов) оказывается весьма немного, что позволяет навести очень такой неплохой порядок среди всех мыслимых $3$-проекций $4$-тензоров, которых без понятия хивариантности была бы тьма тьмущая.

Однако, я увлекся высокою теориею, а между тем пора бы и к сути дела. Ниже я кратко и без доказательств изложу технику расщепления, после чего перейду непосредственно к результату, анонсированному в заглавии темы.

Пусть нам дана некоторая метрика

$$ds^2 = g_{\mu \nu } dx^\mu dx^\nu$$

составим величины

$$\begin{gathered} h \equiv \sqrt {g_{00} } \hfill \\ a_i \equiv - h^{ - 1} g_{0i} \hfill \\ \bar g_{ik} \equiv - g_{ik} + a_i a_k \hfill \\ \bar f_i \equiv - h^{ - 1} \left( {h_{,i} + a_{i,0} } \right) \hfill \\ \bar \omega _{ik} \equiv \frac{1} {2}\left( {a_{k,i} - a_{i,k} + \bar f_i a_k - \bar f_k a_i } \right) \hfill \\ \bar D_{ik} \equiv \frac{1} {2}h^{ - 1} g_{ik,0} \hfill \\ \end{gathered}$$

(черта сверху означает хитензорность соответствующей величины)

Каждая из выписанных величин имеет свой не побоюсь этого слова физический смысл, извлекаемый из записанных через них уравнений геодезической. А именно (сверху вниз): некоторые не фиксированные С.О. потенциалы, $3$-метрика, $3$-ускорение инерции, $3$-угловая скорость и нечто вроде тензора деформаций, происходящих от нестационарности.

Теперь, наконец, к делу. Введем в плоском п.-в. криволинейные координаты $x^\alpha = \left\{ {t,r,\varphi ,z} \right\}$ в которых метрика имеет вид

$$ds^2 = dt^2 - dr^2 - r^2 d\left[ {\omega \left( r \right)t + \varphi } \right]^2 - dz^2$$

Как видно, пробники кружатся по окружностям и имеется в наличии ось, так что часть атрибутов "равномерного вращения" наличествует. В качестве последнего решительного условия я использую тот факт, что нерелятивистское равномерное вращение обладает повсюду внутре тела постоянной угловой скоростью. Как сие обобщить на СТО? Так вот ведь он - хивариант по имени...

$$\bar \omega \equiv \sqrt {\frac{1} {2}\omega _{ik} \omega ^{ik} } = \frac{1} {2}\frac{{\left| {2\omega + r\omega '} \right|}} {{1 - r^2 \omega ^2 }}$$

Его и запостояним!

Итак, $\bar \omega = \operatorname{const}$, откуда следует:

1) При $\bar \omega = 0$, имеем $\omega \propto r^{ - 2}$, что не есть гут. С негодованием отбрасываем это маргинальное решение и удовлетворяемся скромным $\omega = 0$.

2) При $\bar \omega \ne 0$, получим сперва следующий анзац:

$$\omega = \bar \omega \cdot \Omega \left( {\bar \omega \cdot r} \right)$$

а потом и единственное несингулярное на оси решение:

$$\Omega \left( x \right) = \frac{{{}_0F_1 \left( {;2;x^2 } \right)}} {{{}_0F_1 \left( {;1;x^2 } \right)}}$$

со следующими асимптотиками

$$\Omega \left( x \right)\xrightarrow[{x \to 0}]{}1 - \frac{{x^2 }} {2} + \frac{{x^4 }} {3} - \frac{{11x^6 }} {{48}} + \frac{{19x^8 }} {{120}} - \frac{{437x^{10} }} {{4320}} + \frac{{229x^{12} }} {{3024}}$$

$$\Omega \left( x \right)\xrightarrow[{x \to \infty }]{}\frac{{\operatorname{th} 2x}} {x}$$

[Munin]

Утундрий в сообщении #589746 писал(а):

Далее производится действие понять и принято которое проще всего в каких-то (а лучше в сопутствующих) координатах, ибо от читателя требуется ни много ни мало, а вообразить, что вся одна такая мировая линия соответствует всего лишь точке некоего трехмерного подпространства, тоже метрического (но в общем случае не являющегося гиперповерхностью).

А откуда берётся метрика этого пространства?

-- 27.06.2012 17:35:26 --

Утундрий в сообщении #589746 писал(а):

Ниже я кратко и без доказательств изложу технику расщепления

А зачем она нужна? Этого так и не анонсировано.

[Утундрий]

От проектора берется. Хотя для приложений вполне достаточно формализма хивариантов, но для общей интуиции полезнее т.н. монадный формализм, созданный А.Л. Зельмановым существенно позднее. Вкратце, идея такова: в каждой точке садится единичный времениподобный вектор $\tau ^\mu$ (касательный вектор к мировым линиям пробников), так что дельта-символ (единица) разбивается на $\delta _\nu ^\mu = \tau ^\mu \tau _\nu + \gamma _\nu ^\mu$. Гамма и определяет $3$-метрику. Дальше можно делить $4$-тензоры на продольные, поперечные, продольно-продольные, продольно-поперечные, поперечно-поперечные... Однако, эта иллюзия ковариантности все одно неминуемо разрушается неизбежным переходом к координатам (пусть даже только к некоторым классам эквивалентности координат). Что, в общем-то, неизбежно, т.к. выделение любой С.О. это уже нарушение ковариантности.

[Munin]

Утундрий в сообщении #589760 писал(а):

Гамма и определяет 3-метрику.

Судя по тому, что вы написали, у вас 3-метрика зависит от 4-точки, что для 3-многообразия недопустимо.

Для каких задач всё это нужно - так и осталось нераскрытым.

[Утундрий]

Munin в сообщении #589772 писал(а):

Судя по тому, что вы написали, у вас 3-метрика зависит от 4-точки, что для 3-многообразия недопустимо.

Мне не понятен смысл этой недопустимости.

[Munin]

В 3-многообразии 4-точек нет. 3-многообразие - это $n$-ка $(X,f_1(X^{k_1}),\ldots)$ из самого пространства, и набора функций, задающих ту или иную на нём структуру. В частности, метрическое многообразие имеет функцию, задающую метрику. От каких-то ещё аргументов, кроме точек многобразия, эти функции зависеть не могут, потому что иначе это будет уже не многообразие, а какой-то другой объект, например, расслоение. Это не запрет, а просто договорённость называть вещи своими именами.

[Утундрий]

Munin в сообщении #589786 писал(а):

метрическое многообразие имеет функцию, задающую метрику. От каких-то ещё аргументов, кроме точек многобразия, эти функции зависеть не могут, потому что иначе это будет уже не многообразие, а какой-то другой объект, например, расслоение. Это не запрет, а просто договорённость называть вещи своими именами.

К сожалению, то что получается в результате описанной выше процедуры, таки да зависит от чего еще кроме точек, а именно от фактора времени. Таким образом, это наверное и правда не "многообразие", а "какой-то другой объект". Мне, конечно, интересно, какими именами назовут сие читатели данной темы, однако давайте рубить хвостик собачки по частям, чтобы ей не было слишком больно. По введенным терминам (в части их возможной, но маловероятной противоречивости) замечания имеются?

[Munin]

Утундрий в сообщении #589795 писал(а):

По введенным терминам (в части их возможной, но маловероятной противоречивости) замечания имеются?

Одно замечание: я ни черта не понял этих терминов.

И главное: я всё жду, когда мне скажут, зачем их вводить.

В математике всегда можно нагородить произвольную груду определений. Но математика так не делается, по одной простой причине: все эти определения должны решать какую-то задачу, внешнюю, существующую до того, как эти определения были предложены.

Поэтому по умолчанию - по барабану, что тринглы, что хи-, фи-, пси-нварианты, главное: зачем они нужны?

[Утундрий]

В свою очередь напоминаю, что тема посвящена вполне конкретному результату (см. название темы).

[Munin]

Результат - это тоже решение какой-то существовавшей задачи. Выдумать что-то на языке фи-хи-пси, и продемонстрировать - это разве будет результатом?

[Утундрий]

Munin в сообщении #589817 писал(а):

Выдумать что-то на языке фи-хи-пси, и продемонстрировать - это разве будет результатом?

Для тех, кто в теме, вполне. Однако, мне хотелось бы так сказать тривиализировать результат, отсюда и тема. На разбор всей этой хиромантии Зельманова у меня ушло месяцев пять, примерно. Тут позвольте заметить, что так уж я устроен, что любой результат признАю, только лишь повторив его самолапно. Конкретно с монадами, считаю, разобрался. Однако, вывалить дважды десять таких простынь как в стартовом топике, пожалуй толку будет мало.

Поэтому просьба к читателям: относитесь к терминологии чуть по-серьезнее. Автор мучился, слова выбирал. А если кажется, что шибко много вычурности, так читаните на досуге диссертацию Зельманова (вот там вас и перекорежит по полной).

[Munin]

У меня нет претензий к терминологии. Хоть трамваем назовите. Я хочу понять, что за задача, где сформулирована, и в чём по отношению к ней состоит заявленный результат.

[Утундрий]

Munin в сообщении #589839 писал(а):

Я хочу понять, что за задача, где сформулирована, и в чём по отношению к ней состоит заявленный результат.

Тут придраться не к чему, благородное желание. Понимайте.

[Munin]

Хорошо.

Обозначьте задачу, приведите ссылки на литературу, где она сформулирована, и очертите вкратце, в чём по отношению к ней состоит заявленный результат.

[Утундрий]

Насичёт литературы, этого я не могу. Этого надобно листать, что изрядно скучно. Вероятно, впрочем, что нигде не освещена.