Задачи на делимость

[Руст]

1) Когда спрашивают о решениях для однородной системы обычно подразумевают нетривиальные решения. У такой системы всегда существуют решения, когда все переменные делятся на все модули (21,56,24).

[a239]

maxal, отлично, как раз то что нужно, спасибо.

Руст, что значит "нетривиальные решения." ?

[RIP]

a239 писал(а):

Руст, что значит "нетривиальные решения." ?

Тривиальные решения приведены в посте Руста. Соответственно, другие решения(если есть) называются нетривиальными.

[La|Verd]

Вот еще одна задачка на делимость:

Существует ли хотя бы одна пара натуральных чисел $x$, $y$, для которой выполнялись бы следующие условия: $(x+y)^7 - x^7 - y^7$ делится на $7^7$, а $xy(x+y)$ - не делится на $7$?

[RIP]

$x=4^{49},\ y=1$

[Руст]

Да может. При х=2, y=1 это выражение делится на 7 в кубе. Соответственно с помощью леммы Гензеля можно найти такую х=2(mod 7), чтобы эта разница делилась на любую наперёд заданную степень 7.

[RIP]

По-моему, в лемме Гензеля требуется $|f(x_0)|_7<(|f'(x_0)|_7)^2$. В данном случае $f(x)=\frac{(x+1)^7-x^7-1}7$, $x_0=2$, $|f(x_0)|_7=7^{-2}=(|f'(x_0)|_7)^2$. Поэтому лемма Гензеля неприменима. Или Вы имеете в виду более точную формулировку леммы Гензеля?

Добавлено спустя 9 минут 44 секунды:

Не поленился и посчитал, что $4^{49}=18\pmod{343}$, поэтому $x=18,y=1$ подходит.

Добавлено спустя 17 минут 14 секунд:

Я решал так. Во-первых, можно считать $y=1$.
$(x+1)^7-x^7-1=7x(x+1)(x^2+x+1)^2$, поэтому надо решить $x^2+x+1\equiv0\pmod{343}$. Совершенно случайно уравнение $x^2+x+1=343$ имеет решение $x=18$, но я этого не заметил и рассуждал так. Можно взять решение сравнения $x^3\equiv1\pmod{343}$, не равное $1\pmod{7}$. Поскольку $3|\varphi(343)=6\cdot49$, то можно взять $x=g^{2\cdot49}$, где $g$ $-$ первообразный корень $\pmod{343}$. Можно взять $g=-2$, откуда $x=4^{49}$.

Добавлено спустя 2 минуты 47 секунд:

Кстати, для сравнения $x^2+x+1\equiv0\pmod{343}$ лемма Гензеля уже применима.
Впрочем, сравнение-то квадратное...

[Руст]

RIP писал(а):

Или Вы имеете в виду более точную формулировку леммы Гензеля?
Кстати, для сравнения $x^2+x+1\equiv0\pmod{343}$ лемма Гензеля уже применима.

Разложение $(x+y)^7-x^7-y^7=7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2$ хорошо известно (см. Рибенбойм. Последняя теорема Ферма.) Когда выражение является произведением нескольких сомножителей лемму Гензеля применяют к одному из сомножителей обращающихся в 0 по модулю р. Именно это имелось в виду.