Избранные задачи олимпиады ННГУ по математике

[Ktina]

Задача 1

Найти общее решение дифференциального уравнения

$$y''=2y'(\frac{y'}{y-1})-y(ye^x-1)$$

Задача 2

Найти предел суммы

$$\sum_{n=1}^{N}\arctg{\frac{2}{n^2}}$$

при

$$N\to\infty$$

Задача 3

Найти все непрерывные функции $f:[0, 1]\to \mathbb R$, удовлетворяющие условиям

$$f(0)=f(1)=0\quad\text{и}\quad f(2x)+f(2y)\le f(x+y)$$

при всех $x, y\in{[0, \frac{1}{2}]}$

Задача 4

Вычислить интеграл

$$\int\limits^{\frac{\pi}{4}}_{0}\arctg{\sqrt{\frac{\cos{2x}}{2\cos^2x}}}dx$$

Задача 5 (странная)

Существует ли многочлен $P(x)$ с целыми коэффициентами, имеющий целые корни, такой что

$$P(1)=1,\quad P(2)=2,\quad P(2007)=1\text{?}$$

Ответ обосновать.

(Комментарий к задаче 5)

По-моему, здесь лишние условия. Целые корни - ни при чём. $P(1)=1$ - тоже ни при чём. Достаточно было написать $P(2)=2,\quad P(2007)=1$, и тогда, если верить теореме Безухова Безу, либо $\frac{1}{2005}\in\mathbb Z$, либо ответ на задачу - отрицательный.

Задача 6

Студент находится от дороги на расстоянии 60 метров, а автобус - от ближайшей к студенту точки дороги на расстоянии 100 метров. Скорость студента равна 5 м/с, а скорость автобуса равна 36 км/ч.
Студент бежит так, чтобы как можно ближе приблизиться к автобусу.
Каково минимально возможное расстояние между ними?
Ответ обосновать.

Задача 7

Можно ли на сфере расположить 9 точек так, чтобы для каждой из этих точек расстояния от неё до ближайших четырёх точек были равны?
Ответ обосновать.

[ewert]

Ktina в сообщении #589617 писал(а):

Найти все непрерывные функции $f:[0, 1]\to \mathbb R$, удовлетворяющие условиям

$$f(0)=f(1)=0\quad\text{и}\quad f(2x)+f(2y)\le f(x+y)$$

при всех $x, y\in{[0, \frac{1}{2}]}$

Это просто определение выпуклости.

[arqady]

А где неравенства?

[ewert]

arqady в сообщении #589656 писал(а):

А где неравенства?

Вот:

Ktina в сообщении #589617 писал(а):

Каково минимально возможное расстояние между ними?

[Ktina]

arqady в сообщении #589656 писал(а):

А где неравенства?

По Вашей просьбе присовокупляю к исходным задачам ещё две:

Задача 8

Пусть $n$ - натуральное число, а $A\subseteq\{1, 2,\dots , n\}$
Для любых двух $x, y\in A$ наименьшее общее кратное чисел $x$ и $y$ не превышает $n$.

Доказать неравенство:

$$|A|\le 1,9\sqrt n+5$$

Задача 9

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C\ge 60^{\circ}$

Доказать неравенство:

$$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 4+\frac{1}{\sin\frac{C}{2}}$$

[arqady]

ewert, это же трактриса.

[ewert]

arqady в сообщении #589672 писал(а):

ewert, это же трактриса.

Нет, это прямая (под углом 30 градусов к направлению на дорогу).

[arqady]

Ktina в сообщении #589671 писал(а):

Задача 9

Дан треугольник $ABC$, в котором $\angle C\ge 60^{\circ}$

Доказать неравенство:

$$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 4+\frac{1}{\sin\frac{C}{2}}$$

Убивается обычной техникой:
По условию $c^2\geq a^2-ab+b^2$. С другой стороны
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\ge 4+\frac{1}{\sin\frac{C}{2}}\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)-4+\frac{a+b}{c}-\sqrt{\frac{4ab}{c^2-a^2-b^2+2ab}}\geq0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{(a-b)^2}{ab}+\frac{(a+b)^2(c^2-a^2-b^2+2ab)-4abc^2}{c\sqrt{c^2-a^2-b^2+2ab}\left((a+b)\sqrt{c^2-a^2-b^2+2ab}+2c\sqrt{ab}\right)}\geq0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow\frac{1}{ab}+\frac{c^2-(a+b)^2}{c\sqrt{c^2-a^2-b^2+2ab}\left((a+b)\sqrt{c^2-a^2-b^2+2ab}+2c\sqrt{ab}\right)}\geq0\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow c(a+b)(c^2-(a-b)^2)+2c^2\sqrt{ab(c^2-a^2-b^2+2ab)}+c^2ab-ab(a+b)^2\geq0$.
Пользуясь теперь тем, что $c^2\geq a^2-ab+b^2\geq\frac{(a+b)^2}{4}$ получаем:
$ c(a+b)(c^2-(a-b)^2)+2c^2\sqrt{ab(c^2-a^2-b^2+2ab)}+c^2ab-ab(a+b)^2\geq$
$\geq\frac{(a+b)^2}{2}\cdot ab+2(a^2-ab+b^2)ab+(a^2-ab+b^2)ab-ab(a+b)^2=$
$=\frac{(5a^2-8ab+5b^2)ab}{2}\geq0$

[Padawan]

ewert в сообщении #589621 писал(а):

Ktina в сообщении #589617 писал(а):

Найти все непрерывные функции $f:[0, 1]\to \mathbb R$, удовлетворяющие условиям

$$f(0)=f(1)=0\quad\text{и}\quad f(2x)+f(2y)\le f(x+y)$$

при всех $x, y\in{[0, \frac{1}{2}]}$

Это просто определение выпуклости.

Где-то двойки не хватает.

[arqady]

В задаче 9 оценку $60^{\circ}$ можно сильно уменьшить.

-- Ср июн 27, 2012 16:31:01 --

ewert в сообщении #589673 писал(а):

Нет, это прямая (под углом 30 градусов к направлению на дорогу).

Это я не понимаю. По-моему, он бежит всё время на автобус.

[Shadow]

Задача 6:
Сами скорости не важны, главное, что автобус движется 2 раза быстрее и пройдет путь в 2 раза больше. Расстояния 100м и 60м также можно мащабировать на 5 и 3. Если студент пройдет путь х, то автобус пройдет $2x$ Получается прямоугольный треугольник с гипотенузой х и катет $2x-5$. Нужно маскимизировать другой катет.
Расстояние м/у ними в любой момент $f(x)=3-\sqrt{x^2-(2x-5)^2}$
У меня получается $\min f(x)=f(\frac {10}{3})$
С учетом масщаба $\min=\frac{20(9-5\sqrt 3)}{3}$
Приблизительно $2.265m$

-- 27.06.2012, 15:40 --

arqady Он не бегает все время на автобус (по кривой), а по прямой, чтобы в какой-то момент был маскимально близко к нему ...и крикнуть водителю "стой...":?

[ewert]

Padawan в сообщении #589712 писал(а):

Где-то двойки не хватает.

Да, действительно, чего-то у меня заскок. Тогда назовём это супер-пупер-выпуклостью; тогда тождественный ноль.

(Ясно, что функция неположительна. Тогда ясно и другое: если в каких-то двух точках функция равна нулю, то она равна нулю и ровно посередине между этими точками. Этого достаточно.)

[xmaister]

$$\lim\limits_{N\to\infty}\sum_{n=1}^{N}\arctg{\frac{2}{n^2}}=\lim\limits_{N\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{N}\arctg{\frac{1}{2k^2}}+\sum_{k=1}^{N}\arctg{\frac{2}{(2k-1)^2}}\right)=\frac{3\pi}{4}$$

[ewert]

По поводу автобуса есть два момента. Во-первых, надо перейти в систему отсчёта, связанную с автобусом. В ней товарищ будет бежать со скоростью $2-\cos\alpha$ параллельно дороге и $\sin\alpha$ перпендикулярно дороге, где $\alpha$ -- это угол отклонения его траектории от направления дороги в неподвижной системе отсчёта. Чтобы наименьшее расстояние этой траектории от автобуса было минимальным, надо, чтобы он бежал по прямой с максимальным наклоном в системе отсчёта, связанной с автобусом, т.е. с максимальным $\tg\beta=\dfrac{\sin\alpha}{2-\cos\alpha}$ (вот и неравенство, которого хотел arqady). Максимум достигается при $\alpha=\frac{\pi}3$ и, соответственно, $\beta=\frac{\pi}6$. Расстояние от такой траектории до автобуса будет $\dfrac{60\sqrt3-100}2=30\sqrt3-50$, т.е. чуть меньше двух метров.

А во-вторых, полезно иметь в виду, что фактически расстояние будет нулевым: если даже студент и худущий, то автобус ведь объект явно не точечный. У него только ширина два с половиной метра, а длина даже и у ПАЗиков семь метров. Так что догонит.

[Shadow]

ewert, в вашем решении прямая, проходящая через студента и автобуса (когда расстояние м/у ними наименьшее) перпендикулярна дороги, или нет?
Кажется, я понял свою ошибку. Расстояние, которое автобус проходит до момента минимума, конечно зависит от угла, которого студент выбрал, а не только от расстояния которое прошел.