Нормальное пространство

[Unconnected]

Пространство X нормально, если:
1) Оно хаусдорфово
2) Для любых двух подмножеств существуют их непересекающиеся окрестности

Разве второе не следует из первого? И что значит "окрестность множества" в топологии?

[neo66]

Уточните определения. См., например, http://en.wikipedia.org/wiki/Separation_axiom

Unconnected в сообщении #589540 писал(а):

2) Для любых двух подмножеств существуют их непересекающиеся окрестности

Для любых двух замкнутых непересекающихся подмножеств...

Unconnected в сообщении #589540 писал(а):

что значит "окрестность множества" в топологии?

Любое открытое множество, содержащее данное.

Unconnected в сообщении #589540 писал(а):

Разве второе не следует из первого?

Нет. Придумайте пример.

[theambient]

neo66 в сообщении #589544 писал(а):

Unconnected в сообщении #589540 писал(а):
Разве второе не следует из первого?

Нет. Придумайте пример.

хм, интересно. осторожно, сейчас будет детский лепет.

(0) правильно ли я понимаю, что хаусдорфовы пространства шире чем метризуемые?
(1) насколько я вижу, метризуемое хаусдорфово пространство автоматически удовлетворяет импликации $(1) \rightarrow (2)$.

Возьмем два замкнутых непересекающихся множества $X,Y \in M$, $M$ - метрическое. Интересен только случай, когда расстояние между ними ноль. для замкнутых множеств это автоматически означает, что у них есть общая точка, то есть пример - неметризуемое хаусдорфово пространство.

но какие они неметризуемые хаусдорфовы? - причем, судя по утверждению они еще делятся на хорошие (нормальные) и не очень.

[lyuk]

$X=\mathbb N$, $Y=\{n+\frac{1}{2n}:n\in\mathbb N\}$. Расстояние между этими подпространствами
$\mathbb R$ равно нулю, но они не имеют общих точек.

[neo66]

Всякое метрическое пространство нормально.

[theambient]

lyuk в сообщении #590495 писал(а):

$X=\mathbb N$, $Y=\{n+\frac{1}{2n}:n\in\mathbb N\}$. Расстояние между этими подпространствами
$\mathbb R$ равно нулю, но они не имеют общих точек.

в самом деле, при чем они оба вроде бы замкнуты.

пока писал буковки нашел ошибку в своих рассуждениях.

[xmaister]

Unconnected в сообщении #589540 писал(а):

Разве второе не следует из первого?

Плоскость Немыцкого- $T_{3\frac12}$, но она не нормально. Доказательство см. например Энгелькинг, стр. 74 пункт 1.5.9.