Совпадение двух последних цифр

[Ktina]

Найти все такие тройки натуральных чисел $(a, b, c)$, не делящихся на 10, чтобы при любом натуральном $k$ у чисел $a^k+b^k\quad\text{и}\quad c^k$ совпадали две последние цифры.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Первое, что бросается в глаза, даже не решая - (25, 76, 101). Ведь 25 в любой степени оканчивается на себя, и 76 - тоже. А 101 в любой степени оканчивается на 01.
Таким образом, у нас есть уже одно бесконечное семейство искомых троек: $(100n+25, 100m+76, 100p+1)$.

Также тройка (4, 25, 29) удовлетворяет условию задачи, что порождает ещё одно бесконечное семейство.

Видимо, в задаче требуется найти определённую закономерность, из которой можно вывести все возможные искомые тройки.

Пожалуйста, помогите разобраться.
Заранее благодарна!

[Asker Tasker]

Может, я сейчас глупость скажу, но, как я понимаю, за последние две цифры степени числа отвечает только две последние цифры самого числа, поэтому мне кажется, что нужно попробовать свести задачу к работе с двумя цифрами чисел а, b и c, попробовать вывести какое-то уравнение с решениями в натуральных числах или сравнение..

По такой логике (если, конечно, она верна) получим уравнение $ [(10a_{2}+a_{1})^{k} + (10b_{2}+b_{1})^{k}] = (10c_{2}+c_{1})^{k} (mod 100) $ (нумерация с конца, т.е. a1 - последняя цифра числа а).
Почти никогда не имел дела со сравнениями, но, по-моему, выше сказанное сведётся к следующему ужасу: $[(10a_{2}+a_{1})^{k} + (10b_{2}+b_{1})^{k}] \equiv k \cdot 10a_{2} \cdot a_{1}^{k-1} + a_{1}^{k} + k \cdot 10b_{2} \cdot b_{1}^{k-1} + b_{1}^{k} (mod 100) $, а тогда получим следующее сравнение:
$ [k \cdot 10a_{2} \cdot a_{1}^{k-1} + a_{1}^{k} + k \cdot 10b_{2} \cdot b_{1}^{k-1} + b_{1}^{k}] \equiv k \cdot 10c_{2} \cdot c_{1}^{k-1} + c_{1}^{k} (mod 100) $
Может, чем-то поможет :)

[Shadow]

Только разсуждения
$c^4-a^4-b^4 \equiv 0 \pmod {100}$ Малая теорема Ферма обязывает а или b быть кратное 5. По условие оно не должно быть и четное. Пусть $b=5n$
$c\equiv a \pmod 5$. Рассмотрение квадратов дает $c\equiv a \pmod {25}, b \equiv 0 \pmod {25}$

Рассмотрение квадратов по модулю 4 дает c-нечетное, a - четное
Перебор для двуцифренных чисел уже небольшой...

[TOTAL]

$a=4j, \; b=25i$