Гауссова кривизна конуса

[nastya2011]

Здравствуйте! помогите, пожалуйста, решить следующую задачку, берем произвольную прямую на плоскости, потом берем точку $O$ произвольно, и каждую точку на кривой соединяем с точкой $O$. Нужно доказать, что у этого конуса будет нулевая гауссова кривизна.
Для прямого обычного конуса все понятно, его легко запараметризовать, и по формулам все найти, а как делать в общем случае?

[Munin]

А как вы обычный конус запараметризовываете? Может, тут всё будет так же? (Кривая, надеюсь, гладкая? Тогда на ней натуральный параметр можно ввести.)

[nastya2011]

как это сделать, подскажите, пожалуйста

[Munin]

Я же задал наводящий вопрос. Ответьте на него, пожалуйста.

[nastya2011]

Munin
ну вот так: $r(u,v)=(u \cos v, u \sin v, c u)$

[Munin]

Хорошо, теперь вместо угла $v$ берёте натуральный параметр $p,$ кривую описываете парой функций $f_x(p),$ $f_y(p),$ где $f_x'^2+f_y'^2=1,$ и получается у вас $r(u,p)=(u\,f_x(p),u\,f_y(p),cu).$

Что дальше? Как для обычного конуса вы ищете гауссову кривизну?

[nastya2011]

Munin
дальше по идее находим $r_u, r_v $, затем $E,G,F$, вектор $n$, вторые производные, $L,M,N$ и гауссова кривизна $\frac {L N-M^2}{E G-F^2}$

[Алексей К.]

Я не люблю трёхмерные задачки (а уж после того как заблудился сегодня в двумерном лесу встревать совсем неприлично), но покритиковать хочется.
Во-первых, поправим описку в условии:

nastya2011 в сообщении #588139 писал(а):

помогите, пожалуйста, решить следующую задачку, берем произвольную прямую на плоскости... --- КРИВУЮ берём на самом деле (А.К.)

Во-вторых ---

nastya2011 в сообщении #588139 писал(а):

потом берем точку $O$ произвольно,

В указанных параметризациях эту точку, по-моему, молча взяли на оси аппликат. Можно, конечно, но об этом стОит заикнуться, обосновать парой слов.

В-третьих, может, как-то можно обойтись без вычисления квадратичных форм, видя, что поверхность линейчатая, одна из главных кривизн равна нулю, Гауссова кривизна --- их произведение. Но не знаю, можно ли, --- так что будем дальше тупо считать её по формулам.

Тогда, в-четвёртых...

-- 23 июн 2012, 18:03:05 --

Munin в сообщении #588149 писал(а):

(Кривая, надеюсь, гладкая? Тогда на ней натуральный параметр можно ввести.)

Натуральный параметр можно ввести и на негладкой кривой: неужели нам неизвестна длина дуги в любой точке, например, негладкой кривой П?
Думаю, требовать натуральности параметра здесь ни к чему. Ну, если по дороге увидится, что он упрощает дело, тогда да...

В пятых,

-- 23 июн 2012, 18:07:57 --

Munin в сообщении #588204 писал(а):

кривую описываете парой функций $f_x(p),$ $f_y(p),$

Неудачная, на мой взгляд, нотация, тем более, что предстоит брать частные производные, и надо теперь помнить, что $f_x$ --- это не производная, а чистая координата. Кривую описываем парой функций ${\mathbf r}_1(t)=(x(t),\,y(t))$ (без предположений о натуральности параметра). Пусть ${\mathbf r}_0=(x_0,y_0,H)$ --- заданная точка $O$. Тогда уравнение конуса имеет вид

-- 23 июн 2012, 18:18:38 --

$${\mathbf r}(u,t)={\mathbf r}_1(t)+u({\mathbf r}_0-{\mathbf r}_1(t))\qquad\left(u=\frac{z}H\right).$$

(Можно параллельно перенести, ${\mathbf r}_0$ передвинуть в 0, чтоб совпало с предыдущим)

[Munin]

nastya2011 в сообщении #588217 писал(а):

Munin
дальше по идее находим $r_u, r_v $, затем $E,G,F$, вектор $n$, вторые производные, $L,M,N$ и гауссова кривизна $\frac {L N-M^2}{E G-F^2}$

Ну и проделайте всё это.

Алексей К. в сообщении #588241 писал(а):

В-третьих, может, как-то можно обойтись без вычисления квадратичных форм, видя, что поверхность линейчатая, одна из главных кривизн равна нулю, Гауссова кривизна --- их произведение.

Очевидно, задача дана ровно на то, чтобы это проверить и лично руками убедиться.

Алексей К. в сообщении #588241 писал(а):

Натуральный параметр можно ввести и на негладкой кривой

Я знаю (хотя не на всякой), просто чтобы вести вычисления, надо оговорить гладкость.

Алексей К. в сообщении #588241 писал(а):

Думаю, требовать натуральности параметра здесь ни к чему.

Для других надо ещё какие-то условия оговаривать, что просто лень.

Алексей К. в сообщении #588241 писал(а):

Неудачная, на мой взгляд, нотация

Да хоспади, я за неё не держусь, из пальца высосал. Хотел было букву $r$ использовать, да она уже занята. Хоть парой функций $(\xi,\eta)$ их обозначайте.

Короче, не всякая простая учебная задача - повод "покритиковать".

[Утундрий]

По-моему тут вообще никаких метрик и считать не надобно. Достаточно определения конуса (как поверхности образованной движением прямой линии) да наблюдения, что в каждой точке вектор направленный параллельно этой самой проходящей через означенную точку прямой будет собственным вектором второй квадратичной формы с собственным значением равным нулю. А так как гауссова кривизна есть инвариант равный произведению собственных значений выше упомянутой второй кв. ф., то она собственно такоже будет нуль. По построению, так сказать.

[svv]

Утундрий в сообщении #588862 писал(а):

По-моему тут вообще никаких метрик и считать не надобно. Достаточно определения конуса (как поверхности образованной движением прямой линии) да наблюдения, что в каждой точке вектор направленный параллельно этой самой проходящей через означенную точку прямой будет собственным вектором второй квадратичной формы с собственным значением равным нулю. А так как гауссова кривизна есть инвариант равный произведению собственных значений выше упомянутой второй кв. ф., то она собственно такоже будет нуль. По построению, так сказать.

Понравилось.