Как задача становится теоремой?

[Nikolai Moskvitin]

Здравствуйте!

Как задача становится теоремой? Какие признаки того, что перед Вами не просто задача, а настоящая теорема?

Я предлагаю в качестве отправной точки дискуссии такие критерии, как обобщённость, важность, простота формы либо превышение первых двух критериев над сложностью формы. Ваше мнение?

С уважением, Николай

[arseniiv]

Что людям взбредёт в голову для оценки своих результатов как теорем или нетеорем, то и взбредёт. И это самое правильное.

[Aritaborian]

Nikolai Moskvitin в сообщении #587280 писал(а):

…перед Вами не просто задача, а настоящая теорема?

Решал задачу десять минут — это просто задача. Долбил её целый день — уже теорема ;-) Если чуть серьёзнее, теоремами называют некие относительно важные, а также более общие утверждения. Что интересно, в физике слово «задача» чаще используется.

[Munin]

Скорее, "задача" - это то, что часто приходится решать, и надо специально учиться решать. Например, задачи математической физики. Думаю, это название бывает не только в физике, но и в математике.

[migmit]

Я бы сказал, теорема — это то, что не очевидно, куда обобщать.

Например, система

$$\begin{cases} 2x + 3y = 1\\ 5x + 7y = 3 \end{cases}$$

— это явно задача. Обобщается она тривиально: заменим литералы на буквы и попробуем решить. То, что получается — уже тянет на теорему. Хотя и её можно обобщить на $n$ уравнений с $n$ неизвестными — и вот это уже будет точно теорема. Можно было бы публиковать, если бы не вопросы приоритета.

[Aritaborian]

migmit в сообщении #587413 писал(а):

Можно было бы публиковать, если бы не вопросы приоритета.

В смысле, если бы это не было бы решено задолго до нас? ;-)

[Sonic86]

migmit, с другой стороны, решение максимально общего уравнения $ax=b$ для $n=1$ - это явно не тянет на теорему
Кстати, как отличать леммы от теорем?
В Фихтенгольце на примере признаков сходимости рядов был интересный анализ теорем. Начиная с необходимого признака сходимости (это теорема?) до признаков Маркова - там была интересная закономерность: сила теоремы растет, но при этом растет используемый аппарат - он все больше требует каких-то самостоятельных додумок. В результате получается что золотая середина где-то посередине. Хотя, наверное, строго говоря это не имеет существенного отношения к обсуждаемому вопросу.
Например, признака Куммера вполне достаточно для исследования сходимости знакоположительных рядов (т.е. он "максимально общий"). Однако все равно дальше идут всяческие логарифмические признаки, признаки Егорова и т.п.. Т.е. максимальная общность - признак достаточный для звания теоремы, но не необходимый.

[bot]

Aritaborian в сообщении #587308 писал(а):

Долбил её целый день — уже теорема

Ну это сильно зависит от того, кто долбил. Загляните в "Помогите решить" - там, бывает, месяц и более вдалбливают очевидное.
Более важный критерий (вряд ли единственный) - это используемость. Вот возьмём теорему Безу - тривиальный ведь факт, а теорема.
Точно не единственный - ещё есть традиции. Например, почему лемма Дарбу не теорема?

[vicvolf]

Еще немного о теореме и лемме. Например, проводим мы доказательство какого-то утверждения и вдруг выявляется факт, имеющий отдельное, самостоятельное значение. Тогда мы выделяем его в качестве леммы, чтобы на него можно было отдельно ссылаться. В зависимости от важности и использования, доказательство этого факта может потянуть на теорему!

[AnDe]

Я считаю, что вне контекста неправильно называть что-либо леммой. Если в каком-то конкретном изложении удобно вынести некоторые высказывания, тогда их называют леммами.

vicvolf в сообщении #587488 писал(а):

Например, проводим мы доказательство какого-то утверждения и вдруг выявляется факт, имеющий отдельное, самостоятельное значение. Тогда мы выделяем его в качестве леммы, чтобы на него можно было отдельно ссылаться.

Вы так построили предложение, что сначала кажется, что Вы выявленный факт хотите леммой объявить)

[AnDe]

Кстати, определение теоремы - утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство. А задача, это некоторая проблема, которую нужно решить. Так что эти понятия не сильно пересекаются. Например задача может состоять в доказательстве теоремы, любая математическая задача с решением является теоремой. А в учебниках пишут обычно о тех теоремах, которые часто используются или имеют красивые решения.

[Munin]

AnDe в сообщении #587951 писал(а):

Кстати, определение теоремы - утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство.

Это формальное употребление слова "теорема", а в математических работах не каждое такое утверждение удостаивается этого названия.

[Someone]

Nikolai Moskvitin в сообщении #587280 писал(а):

Я предлагаю в качестве отправной точки дискуссии такие критерии, как обобщённость, важность, простота формы либо превышение первых двух критериев над сложностью формы. Ваше мнение?

Ну что Вам сказать... Будучи аспирантом, принёс я как-то своему научному руководителю, профессору В.И.Пономарёву, рукопись статьи. А он был не один, там ещё профессор Б.А.Пасынков был. И стали они вдвоём смотреть. А у меня там "Лемма", "Утверждение", и т.д., и т.п.. Борис Алексеевич даже возмутился: «Что это за "Лемма", "Утверждение"? Вот это (тычет в "Лемму") - "Теорема", вот это (тычет в "Утверждение") - "Теорема"! И т.д.!» А Вы - "обобщённость", "важность",...

А вообще, названия "Лемма", "Теорема" и т.п. часто существуют просто по традиции.