Интеграл с функцией Ферми

[A.P.]

Имеется простое выражение, которое необходимо проинтегрировать:
$I = \int\limits_{-\infty}^{+\infty} dx \frac{1}{1 + c e^{b x}} e^{\left ( a + i \theta \right ) x}$
Maple и Wolfram выдают гипергеометрическую функцию, в которую я не смог подставить пределы (т.е. один из пределов явно ноль, а второй - умножение нуля на бесконечность). Вычетов у подинтегральной функции чуть больше, чем... ну, в общем, очень много.

Все константы положительные. Ответ неизвестен, но он точно не равен нулю и не расходится.

[ewert]

Полюса -- это $z_k=\dfrac{-\ln c+i(\pi+2\pi k)}{b}$, а подставлять их надо в $\dfrac1{cb}e^{(a-b+i\theta)x}$. Получается просто геометрическая прогрессия.

[A.P.]

Разве можно пользоваться теоремой о вычетах, если имеешь бесконечное количество нулей знаменателя? Википедия пишет, что нет.

[ewert]

Можно, если осторожно. Надо просто замыкать отрезок полуоси в верхнюю полуплоскость, скажем, прямоугольникиком, верхняя граница которого располагается посередине между полюсами и при этом подымается всё выше. Тогда вроде всё получается (хотя поручиться не могу -- вдумчиво не вдумывался).

[Vince Diesel]

Для сходимости надо $a<b$.

[ewert]

Естественно. Вот при этом вроде как всё и получается.

[A.P.]

Предположим, что вы правы, ну и a<b, теперь как насчет вычета на бесконечности?

[ewert]

A.P. в сообщении #587962 писал(а):

как насчет вычета на бесконечности?

Он не нужен. Он ведь если иногда нужен -- то только тогда, когда нужен.

[Vince Diesel]

А математика дает ответ, если правильно спросить :

$$ \frac{\, _2F_1\left(1,\frac{a+i \theta }{b};\frac{a+b+i \theta }{b};-c\right)}{a+i \theta }-\frac{\, _2F_1\left(1,\frac{-a+b-i \theta }{b};-\frac{a-2 b+i \theta }{b};-\frac{1}{c}\right)}{c (a-b+i \theta )}. $$

При $c=1$ все это упрощается до

$$ \sqrt{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{b \sin \left(\frac{\pi (a+i y)}{b}\right)}. $$

[ex-math]

Видимо, там все мощно сокращается, а Mathematica-то не знает.
Потому как решение ewertа правильное и проходит.

[A.P.]

Ладно, спасибо, ребята, в любом случае.

[A.P.]

ewert в сообщении #587887 писал(а):

Полюса -- это $z_k=\dfrac{-\ln c+i(\pi+2\pi k)}{b}$, а подставлять их надо в $\dfrac1{cb}e^{(a-b+i\theta)x}$. Получается просто геометрическая прогрессия.

Vince Diesel в сообщении #587950 писал(а):

Для сходимости надо .

Вы уверены? Может, все же, $\theta > 0$? Модуль-то суммируемого выражения определяется, как раз, тетой.

[A.P.]

Еще вопрос: можно ли замкнуть на нижнюю полуплоскость в случае $\theta < 0$?

[ex-math]

Если $a\geqslant b$, то Ваш интеграл разойдется в $+\infty$.
Если $\theta<0$, возьмите комплексное сопряжение и сведите к рассмотренному.

[A.P.]

Еще раз спрошу:

A.P. в сообщении #588732 писал(а):

Вы уверены? Может, все же, $\theta > 0$? Модуль-то суммируемого выражения определяется, как раз, тетой.