Квадрат суммы и сумма квадратов (неравенства)

[VasRoG]

Имеется $A =(a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n)^2$ (квадрат суммы) и $B = (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2+...+a_n^2)$ (сумма квадратов), где все $a_i$-целые положительные числа. Могу ли я сказать, что $A/B$ не превышает 2? Рассуждая так, что $A$ разложится на сумму квадратов и удвоенные попарные произведения всех членов, а значит $A/B = 1 + C$, где C = (все эти попарные произведения)/B => С<=1?

[Александр Воронцов]

$ \frac{(1+1+1)^2}{1^2+1^2+1^2} = \frac{9}{3}=3$. Попарных произведений там слишком много.

[VasRoG]

Действительно.
Спасибо.

[Trius]

вообще-то $n(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2|\le (a_1+a_2+..+a_n)^2$

[незваный гость]

Вы хотели сказать, $n(a_1^2+a_2^2+...+a_n^2) \geqslant (a_1+a_2+..+a_n)^2$?

Откуда, кстати, $\frac{A}{B} \leqslant n$

[Trius]

ага, думал об одном, написал другое

[Mikhail Sokolov]

Рассмотрим максимум выражения: $f(a_1,...,a_n) = A/B$, поскольку $f$ однородна нулевой степени, то, не умаляя общности, можно положить $a_1+...+a_n = 1$ и минимизировать $B$ при этом ограничении. Минимум $B$, очевидно, достигается при $a_i=1/n$.

[neo66]

А очевидность этого факта является следствием неравенства Коши-Буняковского? .

[Mikhail Sokolov]

Нет, почему. Можно и формально Лагранжем решить.

[Батороев]

Если бы было:
$ a_1,a_2,a_3... a_n = 1, 2, 3,...n $,
то имели б:
$ (a_1 + a_2 + a_3 +... + a_n)^2 = 1 + 2^3 + 3^3 +...+ a^3_n $
При такой раскладке, как мне кажется, максимальное отношение
$ A/B $ приближалось бы к $ a_n $.
Хотя, я могу ошибаться.

[нг]

У Вас плохо с арифметикой. Если $a_k = k$, то $A/B = \frac {3 n (n + 1)}{2 (2 n + 1)} \approx \frac{3n}{4} < n$

[Батороев]

нг писал(а):

У Вас плохо с арифметикой. Если $a_k = k$, то $A/B = \frac {3 n (n + 1)}{2 (2 n + 1)} \approx \frac{3n}{4} < n$

Согласен и с первым, и со вторым

[Батороев]

Уважаемый нг!

Итак, Вы определили значение $A/B$ при предложенных мною значениях.
А к чему будет стремиться это отношение:
1) При появлении "просветов" в упомянутом ряду (при соответствующем уменьшении n)?
2) При сдвиге ряда поединично в сторону увеличения (без изменения n)?

[Батороев]

Хотелось, чтобы кто-нибудь показал следующее арифметически... но видно желающих нет.
Поэтому в моем корявеньком изложении:
Если взять за основу натуральный ряд (все примеры - условны для $ n = 5 $), т.е.
$ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 = 1, 2, 3, 4, 5 $,
то имеем то, что показал нг, а именно:
$ A/B = \frac {3n(n + 1)}{2(2n + 1)} $.
При "сдвиге" ряда в сторону увеличения
$ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 = 7, 8, 9, 10, 11$ отношение $ A/B $ будет увеличиваться и стремиться к
$ n $.
При "расстяжении" ряда
$ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 =3 , 8, 9, 10, 11$, отношение $ A/B $ будет уменьшаться и стремиться к
$ 1 $.
При "сжатии" ряда
$ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 = 8 , 9, 9, 11, 11$,
отношение $ A/B $ также будет стремиться к $ n $. При этом максимальное "сжатие" - это случай $ a_1=a_2 = a_3 = a_4 = a_5 $($ A/B = n $).

[VasRoG]

В принципе вопрос тот же, но опять застрял :
Имеем:
A = \sum\limits_{i=1}^k u_i и B = \sqrt{\sum\limits_{i=1}^k u_i^2}. Все u_i - целые положительные числа и могут принимать значения из диапазона целых чисел [u_m_i_n; u_m_a_x], в котором N- различных значений. Нужно набрать из этого диапазона k чисел таких, чтобы отношение A/B было минимально.
Я так понимаю, что решение при k<N и k>N будет различно. При к = N, судя по предыдущим ответам, нужно просто взять весь диапазон. При k>N вычислить целую часть n_1 = [k/N] и взять n_1 раз каждую точку из диапазона [u_m_i_n; u_m_a_x], а как быть с оставшимися точками и, соответственно, что делать при k<N?