неравенства с моментами и медианой распределения с.в.

[kirya]

Что-то никак не соображу, как доказать следующие неравенства.

$E|\xi - \mathop{\textrm{med}}\xi| \leq E|\xi - E\xi|$

$({E|\xi - E\xi^2|})/{{(D\xi)}^{3/2}} \geq 1$

$E\xi$ - математическое ожидание $\xi$
$D\xi$ - дисперсия.
$\mathop{\textrm{med}}\xi$ - медиана

Знания тервера безнадёжно забыты.

[Аурелиано Буэндиа]

А что такое медиана med\xi?

[незваный гость]

Медиана \xi, как и было сказано (kirya)

[Аурелиано Буэндиа]

Вот моё мнение. Начну со второго неравенства.
$E(\xi-E(\xi^2)) \geq (D\xi)^{3/2}$.
Обозначим, для простоты, $a=E(\xi)$и $b=E(\xi^2)$, тогда
неравенство примет вид
$a-b \geq (b-a^2)^{3/2}$,
$a$, $b$ могут быть любые ($b>0$)! подставим
$a=0$, $b=2$.
Получим $-2 \geq 2^{3/2} $. Ерунда выходит.
Не работает Ваше неравенство. Кстати, ccылаясь на не скажу кого,
скажу: кажется такая же ерунда и с первым неравенством.

[незваный гость]

Простите, Аурелиано Буэндиа, но Вы знак модуля потеряли. В оригинале были не скобки, а модули, и это важно.

[Аурелиано Буэндиа]

Ок, похоже я погорячился

[Dan_Te]

Так нельзя =))
$E|\xi-\eta|\ne |E\xi-E\eta|$
Даже можно сказать, что первое не меньше второго.

[Dan_Te]

Второе неравенство действительно кривое, там какая-то лажа с размерностью. Из обычных единиц вычитаются квадратные и делятся на кубические, это очень некрасиво. Легко понять, как строить контрпример.
Пусть второе неравенство выполнено для некоторого $\xi$, положим $\eta=C\xi$. Выполнение неравенства для $\eta$ означает
$E|C\xi-C^2 E\xi^2|\geqslant C^3(D\xi)^{3/2}$
$E|\xi-CE\xi^2|\geqslant C^2(D\xi)^{3/2}$
Если $\xi$ ограничена и константу С выбрать достаточно большой, то $|\xi-CE\xi^2|=-\xi+CE\xi^2$. Слева С, справа квадрат С, неравенство не выполняется.
Если конкретно, то можно взять в качестве кси случайную величину, принимающую значения 2 и -2 с вероятностями 0.5

[Аурелиано Буэндиа]

Похоже Dan_Te прав. Скажу больше: можно в качестве контрпримера брать
$a,-a$, c $P(a)=P(-a)=0.5$ при $a> 1$

[Dan_Te]

Вспомнил, с помощью чего первое делать. Аккуратно писать не буду, рассмотрю идею для самого простого случая: когда медиана хорошо определена, то есть существует единственная точка a, для которой $F(a)=1/2$, это и будет медиана.

Утверждение: если существует мат. ожидание, то положительная часть этого мат. ожидания
$E\xi_{+}=\int\limits_{0}^{+\infty} x dF(x) = \int\limits_0^{+\infty} (1-F(x)) dx$
То есть это интеграл от правого хвоста A(x)= 1-F(x).
Доказывается простым интегрированием по частям. Если мы внимательно посмотрим на последний интеграл, то поймем, что сумма площадей заштрихованных областей на следующем чудо-рисунке

есть не что иное, как $E|\xi-c|$

Следующий рисунок показывает, почему минимум выражения $E|\xi-c|$ достигается при с=a, где а - медиана распределения.

$E|\xi-a|$ - это черное плюс красное,
$E|\xi-(a+\varepsilon)|$ - это черное плюс синее. Видно, что второе больше.

Таким образом, в неравенстве номер 1 вместо мат. ожидания могло стоять вообще все что угодно.