2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 неравенства с моментами и медианой распределения с.в.
Сообщение28.12.2005, 18:54 


28/12/05
1
Что-то никак не соображу, как доказать следующие неравенства.

$E|\xi - \mathop{\textrm{med}}\xi| \leq E|\xi - E\xi|$

$({E|\xi - E\xi^2|})/{{(D\xi)}^{3/2}} \geq 1$

$E\xi$ - математическое ожидание $\xi$
$D\xi$ - дисперсия.
$\mathop{\textrm{med}}\xi$ - медиана

Знания тервера безнадёжно забыты. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Пара неравенств по теории вероятности.
Сообщение28.12.2005, 23:40 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
А что такое медиана med\xi?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Медиана \xi, как и было сказано (kirya) :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 00:26 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Вот моё мнение. Начну со второго неравенства.
$E(\xi-E(\xi^2)) \geq (D\xi)^{3/2}$.
Обозначим, для простоты, $a=E(\xi)$и $b=E(\xi^2)$, тогда
неравенство примет вид
$a-b \geq (b-a^2)^{3/2}$,
$a$, $b$ могут быть любые ($b>0$)! подставим
$a=0$, $b=2$.
Получим $-2 \geq 2^{3/2} $. Ерунда выходит.
Не работает Ваше неравенство. Кстати, ccылаясь на не скажу кого,
скажу: кажется такая же ерунда и с первым неравенством.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 00:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Простите, Аурелиано Буэндиа, но Вы знак модуля потеряли. В оригинале были не скобки, а модули, и это важно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 00:39 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Ок, похоже я погорячился

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 00:54 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Так нельзя =))
$E|\xi-\eta|\ne |E\xi-E\eta|$
Даже можно сказать, что первое не меньше второго.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 01:12 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Второе неравенство действительно кривое, там какая-то лажа с размерностью. Из обычных единиц вычитаются квадратные и делятся на кубические, это очень некрасиво. Легко понять, как строить контрпример.
Пусть второе неравенство выполнено для некоторого $\xi$, положим $\eta=C\xi$. Выполнение неравенства для $\eta$ означает
$E|C\xi-C^2 E\xi^2|\geqslant C^3(D\xi)^{3/2}$
$E|\xi-CE\xi^2|\geqslant C^2(D\xi)^{3/2}$
Если $\xi$ ограничена и константу С выбрать достаточно большой, то $|\xi-CE\xi^2|=-\xi+CE\xi^2$. Слева С, справа квадрат С, неравенство не выполняется.
Если конкретно, то можно взять в качестве кси случайную величину, принимающую значения 2 и -2 с вероятностями 0.5

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.12.2005, 01:56 
Экс-модератор
Аватара пользователя


30/11/05
1275
Похоже Dan_Te прав. Скажу больше: можно в качестве контрпримера брать
$a,-a$, c $P(a)=P(-a)=0.5$ при $a> 1$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение31.12.2005, 00:23 
Экс-модератор


12/06/05
1595
MSU
Вспомнил, с помощью чего первое делать. Аккуратно писать не буду, рассмотрю идею для самого простого случая: когда медиана хорошо определена, то есть существует единственная точка a, для которой $F(a)=1/2$, это и будет медиана.

Утверждение: если существует мат. ожидание, то положительная часть этого мат. ожидания
$E\xi_{+}=\int\limits_{0}^{+\infty} x dF(x) = \int\limits_0^{+\infty} (1-F(x)) dx$
То есть это интеграл от правого хвоста A(x)= 1-F(x).
Доказывается простым интегрированием по частям. Если мы внимательно посмотрим на последний интеграл, то поймем, что сумма площадей заштрихованных областей на следующем чудо-рисунке
Изображение
есть не что иное, как $E|\xi-c|$

Следующий рисунок показывает, почему минимум выражения $E|\xi-c|$ достигается при с=a, где а - медиана распределения.
Изображение
$E|\xi-a|$ - это черное плюс красное,
$E|\xi-(a+\varepsilon)|$ - это черное плюс синее. Видно, что второе больше.

Таким образом, в неравенстве номер 1 вместо мат. ожидания могло стоять вообще все что угодно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group