предел синуса факториала

[Sonic86]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #587278 писал(а):

По-моему, тут проблема другая. Человек не понимает, что если величина $\alpha\beta$ интерпретируется как градусы, то это вовсе не значит, что и $\alpha,$ и $\beta$ - градусы. Даже наоборот, при произведении градусов на градусы получаются градусы во второй степени (но не квадратные градусы! ).

Квадратные градусы - прикольно Наверное в них измеряются сферические (телесные) углы

[Munin]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #587287 писал(а):

Квадратные градусы - прикольно Наверное в них измеряются сферические (телесные) углы

Правильно угадали. Довольно ходовая единица измерения в астрономии.

[temp03]

Дык, подождите. Мера иррациональности числа $\pi$ не превосходит 8.

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

[ИСН]

И что. Мера иррациональности $e$ ещё меньше, а оно вон как.

[Евгений Машеров]

А есть какие-нибудь приятные ряды для $\frac 1 \pi$?
Чтобы рассмотреть $\sin \pi \frac 1 \pi n!$, подставить ряд, домножить на n! и посмотреть на нецелый член?
Произведение точно есть. Но непонятно как его применить.
Ряды для $\frac 1 \pi$ известны, но их Раманужан придумал, и без помощи богини नामगिरी их не понять...

[venco]

Да там вроде просто: http://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm
Проблема в том, что во всех вариациях этого ряда есть множитель корень.

[Shtorm]

Munin в сообщении #587278 писал(а):

По-моему, тут проблема другая. Человек не понимает, что если величина $\alpha\beta$ интерпретируется как градусы, то это вовсе не значит, что и $\alpha,$ и $\beta$ - градусы. …

Вот это я как раз очень хорошо понимаю:

Shtorm в сообщении #586407 писал(а):

Так что если и писать формулу

$\sin(\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}\cdot...)=...$

То считать, что $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ - это составные множители угла.

То есть $\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}\cdot...=\alpha$, где $\alpha$ - это конкретный угол.

А телесный угол (сферический угол), хоть и измеряется в квадратных градусах или стерадианах – но понимается это условно. А не так, что взяли один угол и перемножили его на другой угол и получили квадратные градусы. Кстати в формулах сферической тригонометрии я тоже нигде не нашёл перемножения угла на угол. И не важно в чём угол – в градусах, радианах или стерадианах.

[Sonic86]

Кстати о смысле.
Есть же интегралы Френеля $\int\sin x^2 dx$! Вот Вам и смысл

-- Ср июн 20, 2012 16:33:20 --

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #587376 писал(а):

Ряды для $\frac 1 \pi$ известны, но их Раманужан придумал, и без помощи богини नामगिरी их не понять...

Какая ужасная мысль

[Shtorm]

Sonic86 в сообщении #587391 писал(а):

Кстати о смысле.
Есть же интегралы Френеля $\int\sin x^2 dx$! Вот Вам и смысл

Пишем интеграл Френеля $\int\limits_{0}^{x}\sin t^2 dt$

И понимаем, что именно $t^2$ можно понимать как угол, но уж никак не $t$

[temp03]

ИСН в сообщении #587344 писал(а):

И что. Мера иррациональности $e$ ещё меньше, а оно вон как.

Да, затупил я. Думал мера иррациональности значит $\left(\dfrac pq-\pi\right)$ не может быть меньше 8 порядка.

-- Чт июн 21, 2012 00:00:40 --

Евгений Машеров в сообщении #587376 писал(а):

А есть какие-нибудь приятные ряды для $\frac 1 \pi$?

А как насчёт базельской проблемы:
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...=\dfrac{\pi^2}{6}$

-- Чт июн 21, 2012 00:09:31 --

Может из неё тоже можно как-то выкрутить $\sin\left(\sqrt{\dfrac{\pi^2}{6}}\sqrt6n!\right)$

-- Чт июн 21, 2012 00:24:16 --

В частности, для $n=1000$:
$\sqrt{\dfrac{\pi^2}{6}}\sqrt6\cdot1000!=\sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac{1000!^2}{1^2}+\dfrac{1000!^2}{2^2}+\dfrac{1000!^2}{3^2}+\dfrac{1000!^2}{4^2}+...}=\sqrt{6K+\dfrac{6\cdot1000!^2}{1001^2}+\dfrac{6\cdot1000!^2}{1002^2}+...}$

где $K$ - натуральное число.

-- Чт июн 21, 2012 00:46:04 --

Ерунда.

[worm2]

На http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html полно рядов для $1/\pi$. Есть и без иррациональностей. Но там в знаменателях что-то типа $(n!)^3$, непонятно, что с этим можно сделать.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Звонок на математический факультет. "Как разделить угол в 57 градусов на три части?". Декан и оказавшиеся в его кабинете профессора начинают оживлённо и весьма глубоко обсуждать. Тут вмешивается секретарь деканата: "А откуда звонили-то?". "С филфака!" "Так скажите, пусть транспортир возьмут!"
Это я к тому, что, судя по уровню прочих задач, здесь хватило бы простого рассуждения "Синус эн факториал колеблется туды-сюды, стал-быть, и нет никакого пределу!"

Хотя интереса к задаче самой по себе это не снижает. Просто не надо заранее предполагать, что у неё есть простое решение, а мы не видим.
$n!^3$ - тут можно рассмотреть член с номером 3n. Или даже 6n. Должно сократиться.
Ну, или произведение, скажем, Валлиса.
Да, и совершенно не обязательно брать быстро сходящиеся ряды, в чём достоинство рядов Раманужана.
Можно ведь попробовать разложить $\frac 1 {\arcsin x}$ в ряд. Сходиться может плохо, но нам-то поведение важно. А не быстрота вычисления.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #587299 писал(а):

Правильно угадали. Довольно ходовая единица измерения в астрономии.

Просто на самом деле можно число перевести в градусы, градусы - в проценты, проценты - в квадратные градусы, а квадратные градусы - в градусы. Просто градус - это не единица измерения.

[temp03]

Для энтузиастов выражение через полилогарифм:
$\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}$

(Оффтоп)

вообще, может кто-то серьёзно математикой увлекается

[worm2]

Кэп подсказывает, что предел $\{\sin \alpha n!\}$ существует тогда и только тогда, когда существует предел $\{a_n/n\}$, где $a_n$ — коэффициенты гармонического разложения (? Harmonic Expansion) числа $\alpha/\pi$.
В частности, для $\alpha=1$ эти коэффициенты таковы: 0,0,1,3,3,1,1,2,2,2,10,0,10,1,... В OEIS последовательность отсутствует, на Вольфраме сведений о Harmonic Expansion мало, ни одной нетривиальной формулы нет. То ли мало кто этим занимался, то ли не удаётся продвинуться.

-- Чт июн 21, 2012 16:21:42 --

(у меня везде фигурные скобки используются для обозначения последовательности, не для взятия дробной части).