2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 14:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8562

(Оффтоп)

Munin в сообщении #587278 писал(а):
По-моему, тут проблема другая. Человек не понимает, что если величина $\alpha\beta$ интерпретируется как градусы, то это вовсе не значит, что и $\alpha,$ и $\beta$ - градусы. Даже наоборот, при произведении градусов на градусы получаются градусы во второй степени (но не квадратные градусы! :-) ).
Квадратные градусы - прикольно :lol: Наверное в них измеряются сферические (телесные) углы :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #587287 писал(а):
Квадратные градусы - прикольно Наверное в них измеряются сферические (телесные) углы

Правильно угадали. Довольно ходовая единица измерения в астрономии.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 16:09 
Заблокирован


16/06/09

1547
Дык, подождите. Мера иррациональности числа $\pi$ не превосходит 8.

http://mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 17:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
И что. Мера иррациональности $e$ ещё меньше, а оно вон как.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва
А есть какие-нибудь приятные ряды для $\frac 1 \pi$?
Чтобы рассмотреть $\sin \pi \frac 1 \pi n!$, подставить ряд, домножить на n! и посмотреть на нецелый член?
Произведение точно есть. Но непонятно как его применить.
Ряды для $\frac 1 \pi$ известны, но их Раманужан придумал, и без помощи богини नामगिरी их не понять...

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 18:48 
Заслуженный участник


04/05/09
4587
Да там вроде просто: http://en.wikipedia.org/wiki/Chudnovsky_algorithm
Проблема в том, что во всех вариациях этого ряда есть множитель корень.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 19:24 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Munin в сообщении #587278 писал(а):
По-моему, тут проблема другая. Человек не понимает, что если величина $\alpha\beta$ интерпретируется как градусы, то это вовсе не значит, что и $\alpha,$ и $\beta$ - градусы. …


Вот это я как раз очень хорошо понимаю:

Shtorm в сообщении #586407 писал(а):
Так что если и писать формулу

$\sin(\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}\cdot...)=...$

То считать, что $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ - это составные множители угла.

То есть $\alpha_{1}\cdot\alpha_{2}\cdot\alpha_{3}\cdot...=\alpha$, где $\alpha$ - это конкретный угол.



А телесный угол (сферический угол), хоть и измеряется в квадратных градусах или стерадианах – но понимается это условно. А не так, что взяли один угол и перемножили его на другой угол и получили квадратные градусы. Кстати в формулах сферической тригонометрии я тоже нигде не нашёл перемножения угла на угол. И не важно в чём угол – в градусах, радианах или стерадианах.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 19:32 
Заслуженный участник


08/04/08
8562
Кстати о смысле.
Есть же интегралы Френеля $\int\sin x^2 dx$! Вот Вам и смысл :-)

-- Ср июн 20, 2012 16:33:20 --

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #587376 писал(а):
Ряды для $\frac 1 \pi$ известны, но их Раманужан придумал, и без помощи богини नामगिरी их не понять...
Какая ужасная мысль :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 20:34 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Sonic86 в сообщении #587391 писал(а):
Кстати о смысле.
Есть же интегралы Френеля $\int\sin x^2 dx$! Вот Вам и смысл :-)



Пишем интеграл Френеля $\int\limits_{0}^{x}\sin t^2 dt$

И понимаем, что именно $t^2$ можно понимать как угол, но уж никак не $t$

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение20.06.2012, 22:54 
Заблокирован


16/06/09

1547
ИСН в сообщении #587344 писал(а):
И что. Мера иррациональности $e$ ещё меньше, а оно вон как.
Да, затупил я. Думал мера иррациональности значит $\left(\dfrac pq-\pi\right)$ не может быть меньше 8 порядка.

-- Чт июн 21, 2012 00:00:40 --

Евгений Машеров в сообщении #587376 писал(а):
А есть какие-нибудь приятные ряды для $\frac 1 \pi$?
А как насчёт базельской проблемы:
$\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}+...=\dfrac{\pi^2}{6}$

-- Чт июн 21, 2012 00:09:31 --

Может из неё тоже можно как-то выкрутить $\sin\left(\sqrt{\dfrac{\pi^2}{6}}\sqrt6n!\right)$

-- Чт июн 21, 2012 00:24:16 --

В частности, для $n=1000$:
$\sqrt{\dfrac{\pi^2}{6}}\sqrt6\cdot1000!=\sqrt6\cdot\sqrt{\dfrac{1000!^2}{1^2}+\dfrac{1000!^2}{2^2}+\dfrac{1000!^2}{3^2}+\dfrac{1000!^2}{4^2}+...}=\sqrt{6K+\dfrac{6\cdot1000!^2}{1001^2}+\dfrac{6\cdot1000!^2}{1002^2}+...}$

где $K$ - натуральное число.

-- Чт июн 21, 2012 00:46:04 --

Ерунда.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение21.06.2012, 06:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
На http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html полно рядов для $1/\pi$. Есть и без иррациональностей. Но там в знаменателях что-то типа $(n!)^3$, непонятно, что с этим можно сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение21.06.2012, 07:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9904
Москва

(Оффтоп)

Звонок на математический факультет. "Как разделить угол в 57 градусов на три части?". Декан и оказавшиеся в его кабинете профессора начинают оживлённо и весьма глубоко обсуждать. Тут вмешивается секретарь деканата: "А откуда звонили-то?". "С филфака!" "Так скажите, пусть транспортир возьмут!"
Это я к тому, что, судя по уровню прочих задач, здесь хватило бы простого рассуждения "Синус эн факториал колеблется туды-сюды, стал-быть, и нет никакого пределу!"

Хотя интереса к задаче самой по себе это не снижает. Просто не надо заранее предполагать, что у неё есть простое решение, а мы не видим.
$n!^3$ - тут можно рассмотреть член с номером 3n. Или даже 6n. Должно сократиться.
Ну, или произведение, скажем, Валлиса.
Да, и совершенно не обязательно брать быстро сходящиеся ряды, в чём достоинство рядов Раманужана.
Можно ведь попробовать разложить $\frac 1 {\arcsin x}$ в ряд. Сходиться может плохо, но нам-то поведение важно. А не быстрота вычисления.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение21.06.2012, 08:02 
Заслуженный участник


08/04/08
8562

(Оффтоп)

Munin в сообщении #587299 писал(а):
Правильно угадали. Довольно ходовая единица измерения в астрономии.
Просто на самом деле можно число перевести в градусы, градусы - в проценты, проценты - в квадратные градусы, а квадратные градусы - в градусы. Просто градус - это не единица измерения.

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение21.06.2012, 09:15 
Заблокирован


16/06/09

1547
Для энтузиастов выражение через полилогарифм:
$\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}$

(Оффтоп)

вообще, может кто-то серьёзно математикой увлекается :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: предел синуса факториала
Сообщение21.06.2012, 14:20 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/08/06
3131
Уфа
Кэп подсказывает, что предел $\{\sin \alpha n!\}$ существует тогда и только тогда, когда существует предел $\{a_n/n\}$, где $a_n$ — коэффициенты гармонического разложения (? Harmonic Expansion) числа $\alpha/\pi$.
В частности, для $\alpha=1$ эти коэффициенты таковы: 0,0,1,3,3,1,1,2,2,2,10,0,10,1,... В OEIS последовательность отсутствует, на Вольфраме сведений о Harmonic Expansion мало, ни одной нетривиальной формулы нет. То ли мало кто этим занимался, то ли не удаётся продвинуться.

-- Чт июн 21, 2012 16:21:42 --

(у меня везде фигурные скобки используются для обозначения последовательности, не для взятия дробной части).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 119 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group