Финслеровы обобщения теории относительности

[Ivanin]

Time в сообщении #585690 писал(а):

Скоро будут опубликованы тезисы, тогда можно будет получить несколько больше информации. А лучше самих авторов послушать. Там есть еще содокладчик: Фильченков М.Л.

Интересно.
А может вы коротко напишете о чем там речь будет ,если возможно такое ,
вы вероятно уже имеете информацию о чем будет доклад?

[bayak]

lek в сообщении #585787 писал(а):

Откровенно говоря меня больше интересуют выступления, в которых обсуждается возможность применения "гиперчисел" и "гиперопераций" в физике.

А Вы не задумывались над тем, что в физике применяется много всяких алгебр, но нет понимания причины эффективности применения даже такой простой как алгебра комплексных чисел?

[Time]

Ivanin в сообщении #585864 писал(а):

Интересно.А может вы коротко напишете о чем там речь будет ,если возможно такое , вы вероятно уже имеете информацию о чем будет доклад?

Да, имею. Но пересказывать чужую работу не благодарное занятие. Вы лучше дождитесь обнародывания тезисов. Надеюсь, завтра-послезатра они появятся. Тогда дам ссылку.
Если совсем коротко, то речь идет о, скорее, фантастической на сегодня идее использовать для преодоления космическими аппаратами галактических расстояний эффекта вроде того, что предполагается у "кротовых нор".

bayak в сообщении #585964 писал(а):

А Вы не задумывались над тем, что в физике применяется много всяких алгебр, но нет понимания причины эффективности применения даже такой простой как алгебра комплексных чисел?

Я уже много раз говорил об этом, в том числе, и в диалогах с Вами. Убежден, что одна из основных причин - в группах симметрий. Обратите внимание, что в обычных алгебрах и геометриях можно выделить два типа симметрий. Первый связан с группами движений у пространства соответсвующего алгебре, тогда как в самой алгебре эта группа реализуется на уровне арифметических операций сложений и умножения. Сложению соответствуют трансляции в ассоциированном пространстве, а умножению на числа единичного модуля - вращения. Второй тип симметрий связан с конформными преобразованиями пространства, сохраняющими углы. В алгебре им соответствуют аналитические функции, то есть, уже собственно и не алгебра даже, а анализ над ней. Именно эта пара типов симметрий и обеспечивает эффективность применения той же комплексной алгебры. Главным образом, из-за того, что конформные симметрии евклидовой плоскости и соответствующие им аналитические функции комплексной переменной образуют бесконечнопараметрические множества. В такой алгебре как, например, кватернионы, а так же у соответствующего им четырехмерного евклидова пространства - конформных симметрий всего ничего (15-параметрическая группа). Именно поэтому успехи применения кватернионов (над полем вещественных чисел) не шибко значительные. Как, собственно, и у самого четырехмерного квадратичного пространства все довольно плохо моделируется. Иное дело у бикватернионов (комплексных кватернионов). Тут нелинейных симметрий значительно больше, потому и успехов в их применении так же больше. В частности, их применяют для описания четырехмерных электромагнитных полей, а некоторые исследователи и для гравитационных эффектов пытаются использовать. Похоже, довольно успешно..
Естественно, это только моя личная точка зрения на заданный Вами вопрос.

[bayak]

Time в сообщении #585979 писал(а):

Именно эта пара типов симметрий и обеспечивает эффективность применения той же комплексной алгебры.

То что это богатая (с математической точки зрения) алгебра я не отрицаю, но интересно другое - каким свойствам природы (физики) обусловлена её математическая эффективность.

[Time]

bayak в сообщении #586001 писал(а):

То что это богатая (с математической точки зрения) алгебра я не отрицаю, но интересно другое - каким свойствам природы (физики) обусловлена её математическая эффективность.

Полагаю, что ровно тем же самым. То есть, максимально богатым набором непрерывных и дискретных симметрий из всех возможных для фиксированной размерности пространства. Моя гипотеза заключается в том, что физический мир устроен в соответствии с такой математической конструкцией, которая обладает самым большим разнообразием симметрий. Поэтому среди всех математических моделей реального мира в первую очередь следует исследовать те, которые являются рекордсменами на непрерывные симметрии. В конце концов, думаю, тем же самым объясняется то, что реальный мир имеет ровно четыре измерения (правда, полагаю, это комплексные, а не вещественные измерения).

[bayak]

И всё же, откуда в реальном мире комплексные измерения? Примечательно, что комплексные числа появляются при описании микромира, а в макромире достаточно и действительнеых чисел.

[Time]

bayak в сообщении #586147 писал(а):

И всё же, откуда в реальном мире комплексные измерения? Примечательно, что комплексные числа появляются при описании микромира, а в макромире достаточно и действительнеых чисел.

Вы можете себе представить некий виртуальный Мир, в котором всего одно измерение и это измерение не пространственное, а временнОе? Подчеркиваю, я говорю не о пространственном, а о временнОм измерении. Я такой необычный утрированно простой мир легко представляю, причем совсем не так, как представляю себе одномерное пространство, обычно аасоциируемое с одномерной вещественной прямой. При этом я убежден, что это единственное временнОе измерение обязано быть не вещественным, а комплексным. При этом время не становится двумерным типа комплексной плоскости, за которой мы привыкли видеть двумерное вещественное пространство, оно именно что одномерное. Иными словами, мой ответ на Ваш вопрос заключается в том, что мы с Вами по разному относимся к многомерию Мира. Для Вас это прежде всего несколько пространственных измерений плюс время, а для меня Мир это четырехмерное время, каждая из координат которого не вещественная, а комплексная. Кроме того метрика четырехмерного комплексного времени не евклидова и не псевдоевклидова, а финслерова Бервальда-Моора.
Впрочем, как относиться к вещественности или комплексности координат многомерного времени, на данном этапе нашего его изучения - не так уж и важно. Тут бы просто с четырехмерной вещественной геометрией (вернее, хронометрией) разобраться. Поэтому я готов временно не акцентироваться на этом обстоятельстве, а обсуждать и исследовать конструкции типа четырехмерного времени как упрощенные вещественные многообразия. Типа того как математики, допускающие право некоего пространства иметь комплексную евклидову геометрию, рассматривают в качестве ее частного случая многомерное вещественное евклидово пространство.

[bayak]

Time в сообщении #586173 писал(а):

При этом я убежден, что это единственное временнОе измерение обязано быть не вещественным, а комплексным. При этом время не становится двумерным типа комплексной плоскости, за которой мы привыкли видеть двумерное вещественное пространство, оно именно что одномерное.

Замечательно! Но Ваши ассоциации необходимо как-то изобразить. Предлагаю в качестве образа использовать такую модель комплексных чисел, в которой они изображаются на плоскости одномерными спиралями.

[Time]

bayak в сообщении #586232 писал(а):

Замечательно! Но Ваши ассоциации необходимо как-то изобразить. Предлагаю в качестве образа использовать такую модель комплексных чисел, в которой они изображаются на плоскости одномерными спиралями.

Вы не внимательны. Я несколько раз подчеркнул, что рассматривается не плоскость, а комплексное одномерное время. Спираль для этого не годится. Изобразить же комплексное число на комплексной временнОй прямой можно иным способом, при этом достаточно близким к общепринятому. Для этого нужно отказаться от изображения комплексного числа в виде точки на вещественной пространственной плоскости и перейти к его изображению в виде пары точек (или огрниченного ими отрезка) на прямой. Но даже в этом случае образ получается не вполне адеватный, так как он связан не с комплексным одномерным временем, а с вещественным одномерным пространством. Но все же, думаю, это лучше, чем предлагаемая Вами спираль.
Впрочем, готов посмотреть, что именно Вы понимаете под предлагаемой спиралью. Главное, что бы все обычные меры комплексного числа, а именно, модуль и аргумент (или их обобщения) были при этом естественным и простым образом задействованы..

[bayak]

Time в сообщении #586240 писал(а):

Впрочем, готов посмотреть, что именно Вы понимаете под предлагаемой спиралью. Главное, что бы все обычные меры комплексного числа, а именно, модуль и аргумент (или их обобщения) были при этом естественным и простым образом задействованы..

Я, как и Вы, повторяюсь, - моя интерпретация комплексных чисел Вам также известна. Моя модель проста, надо только знать, что такое производная векторного поля по векторному полю. В качестве мнимой единицы используется линейное векторное поле плоскости, касательное к окружности, а именно:

$$y\partial_{x}-x\partial_{y},$$

а в качестве единицы используется радиальное к оакружности векторное поле

$$x\partial_{x}+y\partial_{y}.$$

Легко убедиться, что производная первого векторного поля по собственному векторному полю равна второму векторному полю со знаком минус. Тем самым, первое векторное поле служит генератором алгебры комплексных чисел, где сумме комплексных чисел соответствует композиция векторных полей, а произведению - производная вектоного поля по векторному полю.
Интегральными линиями таких векторных полей служат спирали, поэтому геометрически всякому комплексному числу можно сопоставить некий одномерный объект - параметризованную спираль. Впрочем, такие спирали могут быть заданы в пространстве любой чётномерной размерности.

[Time]

Это ж надо на столько непонятно объяснять. Попробуйте проще. Возмите два-три конкретных комплексных числа и изобразите на обычной двумерной евклидовой плоскости соответствующие им спирали. Покажите, что в них соответствует модулю и аргументу комплексных чисел. Понимание важности Ваших полей я может быть пойму после этого.. Не повредили бы так же иллюстрации со спиралями, соответсвующими сумме и произведению пар чисел и соответсвующих им спиралей. Все остальное попробую понять только после такого "ликбеза".

[bayak]

Действительно, векторное поле в целом легче представить по его линии тока - спирали. Пусть у нас имеется векторное поле:

$$c=a\cdot e+b\cdot i,$$

где

$$e=x\partial_{x}+y\partial_{y},$$

$$i=y\partial_{x}-x\partial_{y}.$$

Тогда линия тока этого векторного поля задаётся в полярных координатах системой параметрических уравнений:
$\begin{cases} \rho=at^{2}/2,\\ \varphi=2\pi bt \end{cases}$
Кинематически такую линию тока можно задать как точку на плоскости, которая движется с постоянным ускорением $a$ по лучу, вращающемуся с постоянной угловой скоростью $b$. Всякая другая линия тока этого поля может быть получена сдвигом исходной спирали по фазе. Непараметрическим заданием этой спирали я не интересовался, поэтому не исключаю, что при подобном рассмотрении могут появиться аналоги модуля и аргумента комплексного числа. Кстати, алгебра двойных чисел порождается генератором:

$$j=y\partial_{x}+x\partial_{y}.$$

[Time]

Извините, но Вы так и не ответили на мой простой вопрос. Что именно вместо классической интерпретации комплексного числа в виде точки (или второй вариант - вектора) Вы предлагаете, когда говорите о спиралях? Прошу попробовать еще раз.
В принципе у меня появилсь одна ассоциация. Попробую ее описать, а Вы скажите на правильном ли я пути к пониманию Вашей идеи.

Не думаю, что Ваш прием с представлением векторных полей самый удачный для восприятия желающими разобраться, во всяком случае, мной.
Вместо того, что Вы понаписали о новой интерпретации вещественной и мнимой единиц (в принципе я не возражаю против таких поисков, но только тогда, когда это оправдано и старые методы не срабатывают), можно взять стандартный подход использующийся в теории комплексного потенциала и его приложениях для векторных полей двумерной идеальной жидкости. Мне видится, что все сказанное Вами о спиралях легко переписывается в терминах этой теории. Так Ваши спирали это самые обычные вихреисточники. Комплексный потенциал векторного поля вокруг соответствующей особой точки с фиксированными координатами ее расположения $Z=X+iY$ имеет вид:
$F(z)=(a+ib)\ln(z-Z)$,
где $a$- обильность источника, $b$- обильность вихря, $z$- комплексная переменная.
Такой подход является классическим и всем помнящим ТКП понятен. А теперь вопрос, если Вы перейдете на этот понятный мне язык, что Вы хотели сказать, когда говорили о предложении заменить интерпретацию комплексных чисел как точек евклидовой плоскости на их интерпретацию как спиралей? У Вас что, вся комплексная плоскость становится состоящей из вихреисточников, обильности которых зависят от координат точки плоскости? А векторное поле, о котором Вы говорите является итогом таких непрерывным образом распределенных по плоскости вихреисточников? Или что-то иное?
По поводу двойных чисел поговорим, если разберемся с комплексными..

[lek]

bayak в сообщении #587154 писал(а):

... линия тока этого векторного поля задаётся в полярных координатах системой параметрических уравнений...

Необычное представление... Однако, если я не ошибся в вычислениях, то в полярных координатах поля $e=\rho\partial_{\rho}$ и $i=-\partial_{\phi}$. И тогда тождество $i^2=-e$ не выполняется!

[bayak]

lek в сообщении #587212 писал(а):

bayak в сообщении #587154 писал(а):

... линия тока этого векторного поля задаётся в полярных координатах системой параметрических уравнений...

Необычное представление... Однако, если я не ошибся в вычислениях, то в полярных координатах поля $e=\rho\partial_{\rho}$ и $i=-\partial_{\phi}$. И тогда тождество $i^2=-e$ не выполняется!

А если я не ошибся, то $e=\rho\partial_{\rho}=x\partial_{x}+y\partial_{y}$ и $i=\partial_{\varphi}=y\partial_{x}-x\partial_{y}$. Откуда получаем $i^{2}=\nabla_{i}i=-e$.

-- Ср июн 20, 2012 13:45:28 --

Time в сообщении #587208 писал(а):

Прошу попробовать еще раз.

Чуть позже.