Финслеровы обобщения теории относительности

[lek]

Коллега, вы передергиваете... Ясно, что в декартовых координатах указанные тождества (в линейном приближении) выполняются. Речь идет о том, что при переходе к полярной системе координат это будет уже не так, поскольку $i^2=\partial_{\phi}^2\ne-\rho\partial_{\rho}=-e$. И вы утверждаете, что алгебра (а будет ли это вообще алгебра?), свойство которой зависят от выбора системы координат, изоморфна $\mathbb{C}$?

[lek]

Добавлю пару слов к предыдущему сообщению... Не исключено, что отмеченную выше проблему можно решить путем перехода от обычного к ковариантному дифференцированию показав, что $i^2=\nabla^2_{\phi}=-\pho\nabla_{\rho}=-e$. Но, во-первых, это не очевидно. А во-вторых, "на фига козе баян?"

[Time]

lek в сообщении #587354 писал(а):

А во-вторых, "на фига козе баян?"

Солидарен с Вашим недоумением. Особенно на фоне того, что-что, а уж векторные поля на комплексной плоскости и без неочевидной новой интерпретации прекрасно задаются. Не понимаю, чем именно эти классические способы задания векторных полей не устраивают нашего собеседника? Чем старая проверенная конструкция его не устраивает?

[bayak]

lek в сообщении #587284 писал(а):

Коллега, вы передергиваете...

Вы правы, я был неаккуратен. Следовало сразу уточнить, что векторное поле $i$ генерирует алгебру комплексных чисел с помощью ковариантной производной на евклидовой плоскости, а $j$ - алгебру двойных чисел с помощью ковариантной производной на псевдоевклидовой плоскости.

-- Ср июн 20, 2012 20:14:14 --

Time в сообщении #587363 писал(а):

Солидарен с Вашим недоумением. Особенно на фоне того, что-что, а уж векторные поля на комплексной плоскости и без неочевидной новой интерпретации прекрасно задаются. Не понимаю, чем именно эти классические способы задания векторных полей не устраивают нашего собеседника? Чем старая проверенная конструкция его не устраивает?

Я веду речь всего лишь о векторно-полевом представлении комплексных чисел. Вы же говорите о векторных полях на евклидовой плоскости, которые образованы с помощью комплекснозначных функций комплексной переменной.

[Time]

bayak в сообщении #587385 писал(а):

Я веду речь всего лишь о векторно-полевом представлении комплексных чисел. Вы же говорите о векторных полях на евклидовой плоскости, которые образованы с помощью комплекснозначных функций комплексной переменной.

Я прошу последовательного и явного пояснения этого Вашего векторно-полевого представления комплексных чисел. Посмотрите любой учебник ТФКП в месте где дается общепринятая геометрическая интерпретация комплексных чисел и сделайте аналогичную по последовательности свою интерпретацию. Причем не только самих чисел, но и последствий для них постулируемых бинарных операций сложения и умножения, а так же унарной операции комплексного сопряжения. Без этого Ваши построения остаются вещью в себе, даже если в них есть смысл, в чем я пока далеко не уверен.
К тому же Вы так и не пояснили, чем именно Вас не устраивает общепринятая конструкция?

[Time]

Ivanin в сообщении #585864 писал(а):

Time в сообщении #585690 писал(а):

Скоро будут опубликованы тезисы, тогда можно будет получить несколько больше информации. А лучше самих авторов послушать. Там есть еще содокладчик: Фильченков М.Л.

Интересно.
А может вы коротко напишете о чем там речь будет ,если возможно такое ,
вы вероятно уже имеете информацию о чем будет доклад?

Если желание еще осталось - можно посмотреть тезисы:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... t-2012.pdf

[bayak]

Time в сообщении #587419 писал(а):

К тому же Вы так и не пояснили, чем именно Вас не устраивает общепринятая конструкция?

Общепринятая геометрическая интерпретация комплексных чисел как точек евклидовой плоскости вполне меня устраивает. Однако это статическая интерпретация, а вам предлагается динамическая интерпретация, в которой комплексное число трактуется как точка, движущаяся в общем случае по спирали (но в случае чисто мнимого числа - по окружности, а в случае действительного числа - по прямой). Иначе говоря, предлагается такое представление алгебры, в котором элементами алгебры служат спиралевидные векторные поля (или их линии тока) с естественной для них бинарной операцией сложения векторных полей и произведения векторных полей - ковариантной производной (или просто производной, если не использовать криволинейный базис). Такая интерпретация комплексных чисел интересна тем, что она может быть обобщена для векторно-полевого представления других алгебр, в том числе таких физических как алгеба матриц Паули и Дирака.

[Time]

В обычной интерпретации каждому комплексному числу ставится в соответствие вполне конкретная точка евклидовой плоскости. Я никак не добьюсь ль Вас, что ставится в соответствие разным комплексным числам Вами? Пожалуйста, возьмите пару-тройку комплексных чисел и покажите, что каждому из них соответствует?
Для обобщения на другие числа - необходимо, то бы у них до этого была бы примерно такая же геометрическая интерпретация, как у алгебры и функций комплексных. Например, даже у кватернионов нет аналогичной интерпретации аналитических функций, как на комплексной плоскости. Попробуйте построить на них функцию, соответствующую квадратичной или логарифмической.. И рассмотрите их геометрические иллюстрации..

[bayak]

Time в сообщении #589565 писал(а):

В обычной интерпретации каждому комплексному числу ставится в соответствие вполне конкретная точка евклидовой плоскости. Я никак не добьюсь ль Вас, что ставится в соответствие разным комплексным числам Вами?

Спиралевидные векторные поля имеют два вещественных параметра, причём один параметр ставится в соответствие действительной составляющей, а второй - мнимой составляющей комплексного числа. Что тут непонятного?
Что касается обобщений, то я имел в виду возможность распространения векторно-полевого представления на другие алгебры.

[Time]

bayak в сообщении #590228 писал(а):

Спиралевидные векторные поля имеют два вещественных параметра, причём один параметр ставится в соответствие действительной составляющей, а второй - мнимой составляющей комплексного числа. Что тут непонятного?

Все не понятно. Ну, туповат я..
Давайте попробуйте ответить по пунктам, не пропуская ни одного..
1. Возьмем два частного вида комплексных числа
$1+i$
и
$2+3i$
Вихреисточники с какими обильностями им соответствуют?
2. В каких точках плоскости расположен каждый из источников?
3. С какими обильностями получается вихреисточник, соответствующий комплексному числу, являющимся суммой этих двух? В какой точке плоскости находится этот третий вихреисточник?
4. Тот же вопрос, что и в п.3, но для произведения двух комплексных чисел.
5. Что соответствует сопряженным комплекксным числам?
6. Как получить векторное поле, соответствующее суперпозиции двух отдельных вихреисточников, действующих совместно, но находящихся в разных точках плоскости?
7. Каким образом получить векторное поле, соответствующее, например, течению создаваемому квадруполем?

После ответов, возможно я смогу понять Ваше представление комплексных чисел как спиральных течений..

[bayak]

Теперь понятно, что не понятно. Но прежде чем ответить на Ваши вопросы, позвольте всё же дать ещё одно пояснение.

Напомню сначала, что матричное представление комплексного числа $c=a\cdot e+b\cdot i$ получается если принять, что $e= \left(\begin{array}{cc} 1&0\\ 0&1 \end{array}\right)$ а $i= \left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array}\right)$
Тогда мы имеем матрицу $c= \left(\begin{array}{cc} a&b\\ -b&a \end{array}\right)$ которая соответствует комплексному числу $c$.
В свою очередь, если $x=\left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2 \end{array} \right)$ а $\partial x=\left( \begin{array}{cc} \partial x_1 & \partial x_2 \end{array} \right)$ то мы получим векторно-полевое представление комплексного числа $c$ как произведение трёх матриц $c\cdot x\cdot\partial x$

А поскольку векторное поле, соответствующее произвольному комплексному числу, имеет особенность в нулевой точке, то все эти векторные поля имеют единственный центр "вихреисточника". Надеюсь этим пояснением я ответил на шесть Ваших вопросов (на седьмой я не могу ответить потому, что ничего не слышал о квадруполях).

PS Векторные поля со смещенным центром получить не трудно, но не очень понятно какая за ними стоит алгебраическая структура.

[Time]

bayak в сообщении #590886 писал(а):

Надеюсь этим пояснением я ответил на шесть Ваших вопросов

К сожалению, не ответили. Я специально просил по пунктам, не пропуская ни одного и не все скопом. Прошу еще раз и максимально подробно в соответствии с теми разбивками, что имеются выше. Квадруполь можно исключить...

[bayak]

Time в сообщении #590544 писал(а):

Давайте попробуйте ответить по пунктам, не пропуская ни одного..
1. Возьмем два частного вида комплексных числа
$1+i$
и
$2+3i$
Вихреисточники с какими обильностями им соответствуют?
2. В каких точках плоскости расположен каждый из источников?
3. С какими обильностями получается вихреисточник, соответствующий комплексному числу, являющимся суммой этих двух? В какой точке плоскости находится этот третий вихреисточник?
4. Тот же вопрос, что и в п.3, но для произведения двух комплексных чисел.
5. Что соответствует сопряженным комплекксным числам?
6. Как получить векторное поле, соответствующее суперпозиции двух отдельных вихреисточников, действующих совместно, но находящихся в разных точках плоскости?

После ответов, возможно я смогу понять Ваше представление комплексных чисел как спиральных течений..

1. Если в векторном поле $a\left(x\partial x +y\partial y\right)+b\left(y\partial x - x\partial y\right)$ коэффициент $a$ считать обильностью, а коэффициент $b$ завихренностью, то для первого числа $a=b=1$, а для второго - $a=2$, $b=3$.
2. В точке $(0,0)$.
3. $a_3=a_1+a_2=1+2=3$. Центр вихреисточника не изменится, т.е. останется в точке $(0,0)$.
4. $a_3=a_1a_2-b_1b_2=-1$. Центр вихреисточника не изменится, т.е. останется в точке $(0,0)$.
5. Сопряжённым векторным числам соответствуют векторные поля с противополжным знаком коэффициента завихренности, поэтому у них разная ориентация спиралей.
6. Центры всех вихреисточников расположены в одной точке, поэтому задавать такой вопрос не имеет смысла.

[Time]

Спасибо. Наконец все стало по своим местам и более менее понятно.
Скажите, а Вы помните, как и каким образом получаются вихреисточники в стандартной теории комплексного потенциала? Вы можете перечислить основные недостатки и достоинства своей интерпретации по сравнению с классической?
Так же интересно услышать, каким образом в Вашей интерпретации комплексных чисел получается (не получается) интерпретация аналитических функций комплексной переменной? Ведь в стандартном подходе с интерпретации комплексных чисел как точек двумерной плоскости все только начинается и наиболее интересен именно переход к функциям. Что же в этом плане имеется у Вас?

[bayak]

Time в сообщении #591804 писал(а):

Так же интересно услышать, каким образом в Вашей интерпретации комплексных чисел получается (не получается) интерпретация аналитических функций комплексной переменной? Ведь в стандартном подходе с интерпретации комплексных чисел как точек двумерной плоскости все только начинается и наиболее интересен именно переход к функциям. Что же в этом плане имеется у Вас?

К интерпретации аналитических функций комплексной переменной можно подойти следующим образом.
Итак, у нас имеется векторно-полевая интерпретация алгебры комплексных чисел в виде глобального векторного поля плоскости $c=a\left(x\partial x +y\partial y\right)+b\left(y\partial x - x\partial y\right)$ или в матричной форме $c=C\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} \partial x & \partial y \end{array} \right)$ где $C=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array} \right)$
А если мы хотим перейти к локальным векторным полям, то столбец координат $\left(\begin{array}{c} x\\ y \end{array}\right)$ надо заменить на столбец дифференциалов координат $\left( \begin{array}{c} dx\\ dy \end{array} \right)$ Но в этом случае плоскость $(x,y)$ может быть преобразована с помощью конформного отображения $(x,y)\mapsto (x',y')$. Действительно, если

$$\begin{cases} dx'=\partial_{x} (x')dx + \partial_{y} (x')dy\\ dy'=\partial_{x} (y')dx + \partial_{y} (y')dy \end{cases}$$

или в матричной форме

$$\left( \begin{array}{c} dx'\\ dy' \end{array} \right)= A\left( \begin{array}{c} dx\\ dy \end{array} \right)$$

где $A=\left( \begin{array}{cc} \partial_{x}(x') & \partial_{y}(x') \\ \partial_{x}(y') & \partial_{y} (y') \end{array} \right)$, то

$$c'=CA\left( \begin{array}{c} dx\\ dy \end{array} \right) \left(\begin{array}{cc} \partial x & \partial y \end{array} \right)$$

Но мы хотим получить локальное векторное поле в виде

$$c'=a'\left(dx\partial x +dy\partial y\right)+b'\left(dy\partial x - dx\partial y\right)$$

А это возможно только если $CA=\left( \begin{array}{cc} a' & b' \\ -b' & a' \end{array} \right)$, что влечёт за собой условие конформности:

$$\begin{cases} \partial_{x}(x')=\partial_{y} (y')\\ \partial_{y}(x')=-\partial_{x}(y') \end{cases}$$

Таким образом, условие аналитичности, которое эквивалентно условию конформности отображения $(a,b)\mapsto (a',b')$ получается если преобразовывать не плоскость $(x,y)$ а плоскость $(a,b)$.

Time в сообщении #591804 писал(а):

Скажите, а Вы помните, как и каким образом получаются вихреисточники в стандартной теории комплексного потенциала? Вы можете перечислить основные недостатки и достоинства своей интерпретации по сравнению с классической?

Для ответа мне надо вспоминать теорию комплексного потенциала, но векторно-полевая интерпретация комплексных чисел вряд ли составит ей конкуренцию. Лучше я попробую найти ей метафизическое применение.