диагонализируема ли матрица?

[Maryvsev]

Итак. есть матрица

$ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & -1& 4 \end{array} \right)$

Необходимо найти собственные значения и совственные векторы и проверить диагонализируема ли матрица.

я составила матрицу
$ \left( \begin{array}{ccc} 3-\lambda & 0 & 0\\ 1 & 2-\lambda & 1\\ 1 & -1& 4-\lambda \end{array} \right)$
и нашла определитель, который равен $(\lambda-3)^3$
то есть имеем одно собственное значение a=3, кратности 3.

далее подставила ее в матрицу, получилось:

$ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & -1& 1 \end{array} \right)$


здесь лишь один линейно независимый стобец и я не могу понять как из этой матрицы найти собственные вектора. Помогите пожалуйста разобраться.

[Munin]

(Оффтоп)

\lambda $\lambda$

[Maryvsev]

Munin в сообщении #587083 писал(а):

(Оффтоп)

\lambda $\lambda$

спасибо, исправила

[Maryvsev]

я так понимаю, что собственные векторы я каким то образом должна найти из уравнения $x-y+z=0$.... если бы уравнений было бы хотя бы 2 то понятно, а так как оно одно то совсем не понятно....

[bot]

Maryvsev в сообщении #587123 писал(а):

если бы уравнений было бы хотя бы 2 то понятно

А если одно, то ещё проще. Сколько переменных из трёх независимы? Собственно и это не не нужно - поскольку собственное число одно, а сама матрица не диагональна, то ...

[Maryvsev]

bot в сообщении #587133 писал(а):

Maryvsev в сообщении #587123 писал(а):

если бы уравнений было бы хотя бы 2 то понятно

А если одно, то ещё проще. Сколько переменных из трёх независимы? Собственно и это не не нужно - поскольку собственное число одно, а сама матрица не диагональна, то ...

независимых переменных две, только что нам жто дает?

[TOTAL]

Maryvsev в сообщении #587123 писал(а):

я так понимаю, что собственные векторы я каким то образом должна найти из уравнения $x-y+z=0$.... если бы уравнений было бы хотя бы 2 то понятно, а так как оно одно то совсем не понятно....

Решайте уравнение.

[Maryvsev]

Maryvsev в сообщении #587257 писал(а):

bot в сообщении #587133 писал(а):

Maryvsev в сообщении #587123 писал(а):

если бы уравнений было бы хотя бы 2 то понятно

А если одно, то ещё проще. Сколько переменных из трёх независимы? Собственно и это не не нужно - поскольку собственное число одно, а сама матрица не диагональна, то ...

независимых переменных две, только что нам жто дает?

как я понимаю мы имеем вектор $<(x,y,y-x)>$
то есть $<(1,0,-1), (0,1, 1)>$
правильно?

[nnosipov]

Maryvsev в сообщении #587283 писал(а):

мы имеем вектор $<(x,y,y-x)>$

Какой же это вектор? Изломанные скобки здесь для красоты, так получается?

[Maryvsev]

nnosipov в сообщении #587340 писал(а):

Maryvsev в сообщении #587283 писал(а):

мы имеем вектор $<(x,y,y-x)>$

Какой же это вектор? Изломанные скобки здесь для красоты, так получается?

А что это? База?
И еще один вопрос. Нужно предствавить матрицу в канонической форме Жордана:
$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right)$. вот такая матрица получилась у меня, только я не уверена что правино поставила единицу. по каким критериям они распологаюстся в матрице?

[AV_77]

Жордановы клетки можно расставить в любом порядке.

[мат-ламер]

Maryvsev в сообщении #587365 писал(а):

А что это? База?

Я бы это трактовал как параметрическое задание собственого линейного подпространства. Однако же, Вам виднее. Ведь Вы написали это выражение.

[Maryvsev]

AV_77 в сообщении #587377 писал(а):

Жордановы клетки можно расставить в любом порядке.

А как определить количество жордановых клеток? оно ведь зависит от количества линейно независимых векторов?

[AV_77]

Maryvsev в сообщении #587393 писал(а):

А как определить количество жордановых клеток?

Число клеток для каждого собственного значения совпадает с геометрической кратностью этого собственного значения.

[мат-ламер]

Maryvsev в сообщении #587393 писал(а):

А как определить количество жордановых клеток? оно ведь зависит от количества линейно независимых векторов?

Вот и попробуйте для первой задачи определить это количество. Заодно разберитесь, диагонализируема ли матрица?